2018高考数学（理）（全国通用）大一轮复习2017高考试题汇编 第三章 导数与定积分

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1、第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型30导数的定义——暂无题型31求函数的导数题型32导数的几何意义1.(2017北京理19)已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.解析（1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意，有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.第二节导数的应用题型33利用导数研究函数的单调性题型34利用导函数研究函数的极值与最值1.（2017江苏20）已知

2、函数有极值，且导函数的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．解析（1）由，得，当时，有极小值为．因为的极值点是的零点，所以，又，故．当时，恒成立，即单调递增，所以此时不存在极值，不合题意．因此，即，所以．有两个相异的实根，.列表如下x+0–0+极大值极小值故的极值点是，从而.所以关于的函数关系式为，定义域为．（2）解法一：由（1）知，即证明，即，因为，所以问题等价于，不妨设，则

3、，不妨设，易知在上单调递增，且，从而，即得证．因此．解法二（考试院提供）：由（1）知，．设，则．当时，，从而在上单调递增．因为，所以，故，即，因此．（3）由（1）设的两个实根为，且设，且有，因此．而的情况如下表所示：极大值极小值所以的极值点是，从而．记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，．处理方法一：因为，于是在上单调递减．因为，由，故．处理方法二：所以，整理得（必然可以猜测零点），，因此．因此的取值范围为．评注①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商

4、（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．案例1：已知函数，若函数存在极值，且所有极值之和小于，则实数的取值范围是．解析因为，设，当时，恒成立，所以单调递减，故不存在极值；所以，设的两根为（不妨设），从而，因此同号，所以问题等价于在上有两个不相等的实数根，因此，从而．所以的所有极值之和为，因此，解得，又，所以实数的取值范围是．④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即，，

5、，令，则，所以该三次函数的对称中心为．因此有．这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材．案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数，为函数的导函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若存在实数，且，使得，求证：．解析（1）若，则，，所以切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为．（2），．①当时，恒成立，所以的单调增区间为；②当时，令，得或，所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为；③当时，令

6、，得．所以的单调增区间为，同理的单调减区间为．（3）由题意可知，是方程的两根，则，，所以．令，．则恒成立，所以在上单调递减，所以，即．2.（2017山东理20）已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解析（1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意得，因为，令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.（i）当时，.当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为

7、；（ii）当时，，由，得，.①当时，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.所以当时，取得极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值点；①当时，，所以当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值为；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当

8、时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是.3.(2017北京理19)19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.解析（1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意，有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.4.（2017全国2