8由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用

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1、由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用高考题1(2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上三点不共线，设，则的面积等于()A.B.C.D.答案：C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：定理1若三点不共线，则.证明.由此结论，还可证得定理2若三点不共线，且点是坐标原点，点的坐标分别是，则.证法1由定理1，得证法2可得直线的方程是所以坐标原点到直线的距离是，进而可得的面积是.下面用定理2来简解10道高考题.高考题2(2014年高考四川卷理科第10题)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△A

2、FO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.解B.得，可不妨设.由，可得，所以由定理2，得所以(可得当且仅当时取等号)所以选B.高考题3(2011年高考四川卷文科第12题)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为，其中面积等于2的平行四边形的个数，则()A.B.C.D.解B.所有满足题意的向量有6个，以其中的两个向量为邻边的平行四边形有个.设，得，由定理2得，以为邻边的平行四边形的面积是，可得这样的向量有3对：.所以.高考题4(2011年高考四川卷理科第12题)在集合{1,2,

3、3,4,5}中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过4的平行四边形的个数为，则()A.B.C.D.解基本事件是由向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，得.由定理2可得：组成面积为2的平行四边形的向量有3对：.组成面积为4的平行四边形的向量有2对：.组成面积为6的平行四边形的向量有2对：.组成面积为8的平行四边形的向量有3对：.组成面积为10的平行四边形的向量有2对：.组成面积为14的平行四边形的向量有1对：.组成面积为16的平行四边形的向量有1对：.组成面积为18的平

4、行四边形的向量有1对：.满足条件的事件有个，所以.高考题5(2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)如图1所示，是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若，求面积的取值范围.图1解(1)(过程略).(2)可设，由定理2及题设可得.由，可得，把它代入双曲线的方程，化简得，所以可得面积的取值范围是.高考题6(2007年高考陕西卷理科第21题即文科第22题)已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点与右焦点的距离是.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积

5、的最大值.解(1)(过程略).(2)设，由定理2及题设得由椭圆的参数方程知，可设，得从而可得，当且仅当点是椭圆的两个顶点且时的面积取到最大值，且最大值是.高考题7(2010年高考重庆卷理科第20题)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)如图2所示，已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.图2解(1)(过程略)双曲线的标准方程为，其渐近线方程为.(2)由“两点确定一直线”可得直线的方程为：.分别解方程组，得.因为点在双曲线上，所以.由定理2，得注下面将指出图2的错误：因为点关于轴的对

6、称点也在双曲线上，而双曲线在点处的切线方程为即也即直线，所以直线与双曲线应当相切，而不是相离.高考题8(2011年高考山东卷理科第22题)已知动直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.(1)证明：和均为定值；(2)设线段的中点为，求的最大值；(3)椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.解(1)可设，由定理2，得Z)所以.(2)在(1)的解答中：当为奇数时，得，，所以.当为偶数时，得，，所以.所以的最大值是.(3)可设，由(1)的解答知Z)把这三式相加，得Z)，这不可能！所以椭圆上不存在三点，使得.高考题9(2013年高考山东卷文科第22题)在平

7、面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)为椭圆C上满足的面积为的任意两点，E为线段的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数的值.解(1)(过程略).(2)当直线的斜率不存在时，可求得或.当直线的斜率存在时，可设，由定理2得或.可得，所以直线，求得，所以或总之，或.高考题10(2008年高考海南、宁夏卷理科第21题)设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式.(2)证明：函数的图象是一个