高中数学人教B版选修2-2学案：133导数的实际应用含解析

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1、1.3.3导数的实际应用学习目标导航I1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用.（重点）2.能利用导数求岀某些实际问题的最大值（最小值）.（难点、易混点）阶段1'认知预习质疑「知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理导数在实际生活中的应用阅读教材P30〜P33“练习”以上部分，完成下列问题.L最优化问题生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为最优化问题.2.用导数解决最优化问题的基本思路最优化问题

2、——-用表示数学问题最优化问题的答案I—用解决数学问题【答案】1.利润最大用料最省效率最高2.函数导数°微体验°1・做一个容积为256n?的方底无盖水箱，所用材料最省时，

3、它的高为（）【解析】设底面边长为xm,高为hm,则有Ph=256,所以h=学.所用材料的面积设为Sm2,则有S=4x-/?+x2=4x-^^+x2=256v><4+x2.S,=2x—256X4令S'=0,得x=8,因此/?=-^-=4(m).【答案】C2.某一件商品的成木为30元，在某段时间内，若以每件兀元出售，可卖出(200-x)件，当每件商品的定价为元时，利润最大.【解析】利润为sa)=(x-30)(200—兀)=-?+230x-6000,S'⑴=一2兀+230,由S'(兀)=0,得x=115,这时利润达到最大.【答案】115［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨

4、交流：疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关(分组讨论疑难细究)［小组合作型］

5、

6、E面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒，如图1-3-9,ABCD是边长为60cm的正方形硕纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图屮的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm).图1-3-9(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问兀应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cn?)最大，试问x应取何值？并求出此吋包装盒的高与底面边长的比值.

7、【精彩点拨】弄清题意，根据“侧面积=4X底面边长X高”和“体积=底面边长的平方X高”这两个等量关系，用兀将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值.【自主解答】设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.由已知得a=y[2x,/z=6幣”=迈(30_兀),00;当(20,30)时，Vr<0.所以当兀=20时，V取得极大值，也是最大值.h11此时a=

8、29即包装盒的高与底面边长的比值为呂1.解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.2.解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域;(2)—般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数几Q在给定区间内只有一个极值点或函数几c)在开区间上只有一个点使f(兀)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.［再练一题］1.将一张2X6m的矩形钢板按如图1-3-10所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，

9、把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm,容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)兀取何值时，水箱的容积最大.【解】(1)由水箱的高为xm,、6—2x得水箱底面的宽为(2—2x)m,长为一2—=(3—x)m.故水箱的容积为>=2?-8?+6X0'=2x3-8x2+6x(0

10、号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.图1-3-11【精彩点拨】可设CD=xkm,则CE=（3-x）km,利用勾股定理得出AC,BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数.【自主解答】设CD=%km,则CE=（3—兀）km.则所需电线总长l=AC+BC=V1+"+^/1.52+(3-^)2(00W3),从而rx_3—xyj1+x2*/1.52+(3—x)2Z=°'即硕V1