2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.3.3 导数的实际应用

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1．3.3　导数的实际应用明目标、知重点　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．导数在实际问题中的应用1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值．[情境导学]生活中经常遇到求利

2、润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一　面积、体积的最值问题思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的

3、最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解　设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.72017-2018学年人教B版高中数学学案求导数，得S′(x)＝2－.令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8.当x∈

4、(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1　如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌

5、新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案　32,16解析　要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．探究点二　利润最大问题例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制

6、作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr272017-2018学年人教B版高中数学学案＝0.8π，00.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0

7、，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

8、售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3