高二数学人教B版必修5学案：12应用举例二含解析

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1、1・2应用举例（二）［学习目标］1.利用正、余弦定理解决生产实践屮的有关角度的测量问题2能够运用正、余眩定理解决力学或几何方面的问题.［知识链接］有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学,数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们來研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面儿何方面的应用.尹课堂讲义/重点难点，个个击破要点一测呈角度问题例1如图在海岸力处发现北偏东45。方向，距力处（V3-1）海里的〃处有一艘走私船.在/处北偏西75。方向，距/处2海里的C处的我方缉私船

2、奉命以10、疗海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶/小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD=^t海里,BD=i0t海里.在△/BC中，由余弦定理，得bc1=ab1+acl-iabac^a=（V3-1）2+22-2（V3-1）-2-cos120°=6,：.BC=y［6（海里）...BC_ACA•sinA~sinZABC•.,ACsinA2sin120°y［2

3、..smZABC=—^==2‘AZABC=45°,・・・B点在C点的正东方向上，・•・ZC^Z）=90°+30°=120°.在△BCD中，由正弦定理，得ZBCD=sinZCBD'..…小BD&nZCBD10/sinl20。1..smZBCD=—而一=-^—=-・・・Z3CD=30。，・・・缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，又在中，ZCBD=120。，ZBCD=30。,・•・ZCDB=30。,:・BD=BC,即10/=苗.・・・/=爷小时〜15分钟.・・・缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走

4、私船，大约需要15分钟.规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪演练1甲船在A点发现乙船在北偏东60啲B处，乙船以每小时d海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时诵。海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过/小时两船在C点相遇，则A在厶ABC中，BC=at海里，AC=y^at海里,.，…BCsmB〃sinl20。21smZCAB=^^=-^r=^*：0o

5、CAB<90of:.ZCAB=30°.:.ZDAC=60°-30Q=30°.所以甲船应沿着北偏东30。的方向前进，才能最快与乙船相遇.要点二正、余弦定理在几何中的应用例2如图所示，半圆O的直径为2,/为直径延长线上的一点，04=2,B为半圆上任意一点，以力3为一边作等边三角形问：点3在什么位置时，四边形CMC3面积最大？解设ZAOB=a,在中，由余弦定理,得=12+22-2X2cosa=5-4cos«,«e（0,兀）,于是，四边形Q4CB的面秩为=*X2X1Xsince+爭（5—4cosa）=sina

6、-筋cosa+^/3=2sin（a-申）+^[3.因为0<心，所以当心%,即ZAOB=^ti时，四边形O4CB面积最大.规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及跟据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演练2如图所示，在厶ABC中，已知BC=15,AB:AC=7:8,爭，求BC边上的高川）的长.解在厶ABC中，由已知设AB=h,AC=Sxfx>0,由正弦定理得佥-爲，8x8八7—2•AC=60°（C=120°舍去，否则由8x>7x,知3也为钝

7、角，不合要求）.由余弦定理得（7x）2=（8x）2+152-2X8xX15cos60°,Ax2—8x+15=0,解得x=3或兀=5.:.AB=2或M=35,在△/BQ中，AD=ABsmB=4^37AB,:.AD=12yj3或2（a/3.F当堂检测当堂训练，体验成功1.已知两座灯塔儿B与海洋观察站C的距离相等，灯塔/在观察站C的北偏东40。，灯塔B在观察站C的南偏东60。，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D・南偏西10°答案B解析如图，因厶ABC为等腰三角形，所以

8、ZC^=

9、（180°-80°）=50°,60。一50。=10。，故选B.2.台风中心从力地以20km/h的速度向东北力向移动，离台风屮心30km内的地区为危险区,城市B在力的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为（）A.0.5hB.lhC-l・5hD.2h答案B解析设/地东北方向上点P到B的距离为30km,AP=x.在厶ABP中，PB1=AP1+AB1-2APABcosA,即302=x2+402-2x-40cos45°,化简得?-4oV2x+700=