高二数学人教A必修5学案：12应用举例三含答案

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1、1.2应用举例（三）［学习目标］1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题2能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.3.学握三角形的面积公式的简单推导和应用.戸预习导学全挑战白我.点点落实［知识链接］前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中，人们乂会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？［预习导引］1.方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如

2、南偏西60°,即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60。.3.三角形常用面积公式⑴三角形面积公式S=^ah.（2）三角形面积公式的推广（3）S=^r（a+b+c）（r为三角形内切圆半径）.戸课堂讲义昼重点难点.个个击破要点一测量角度问题5°A例1如图，在海岸A处发现北偏东45。方向，距A处（萌一1）海里的B处有一艘走私船.在力处北偏西75。方向，距力处2海里的C处的我方缉私船奉命以10、庁海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，以3处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所

3、需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶/小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD=l/海里,BD=Ot海里，在△/BC屮，由余弦定理，有BC2=AB2+AC1-2ABACcosA=(V3-1)2+22-2(^/3-1)-2-cos120°=6.:.BC=y^>海里•又•・丿…小ACsinA2sinl20°y[2..smZABC=—^==2‘AZABC=45°9•IB点在C点的正东方向上,•••ZC^Z>=90°+30°=120°,在△BCD中，由正弦定理，得BD_CDsinZBCDsinZCBD'・5ZBCD」DgCBDCD>BC

4、h由血43=而侍北i西^东南・"…BCsinBsinz_C.AdaZ-sin120°y[3at1Orsini20°1l(h/3r~2-・•・ZBCD=30。，・・・缉私船沿北偏东60叩勺方向行驶.又在△BCQ中，ZCBD=120%ZBCD=30。,:.ZZ)=30°,:・BD=BC,即10t=心.・•・/=需力、时~15分钟.・・・缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图

5、，转化为三角形问题.跟踪演练1甲船在A点发现乙船在北偏东60啲B处，乙船以每小时q海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时羽a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过/小时两船在C点相遇，则在厶ABC中，BC=at海里，AC=y/3at海里，3=90。+30。=120。,V0°

6、=ycos/=g,b=©⑴求sinC的值；(2)求的而积.jr42兀3解(1)因为角B,C为△ABC的内角，且8=亍，cos/=§,所以C=3—力，sin/=§.于是sinC=sin(寸-力3+4萌103⑵由⑴知sirb4=g,sinC=^^又因为b=£,所以在中，由正弦定理得bsinA6—sing—5.于是△/BC的面积3+4^336+9^310=50规律方法求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时

7、出现增根.跟踪演练2在屮，c=2y[l,a>h,tarL4+tanB=5,tan^tanB=6,试求a,b及HABC的面积.解*.*tair4+tang=5,tart4•tan3=6,且a>b,tanJ=3,tan^=2,Af3都是锐角.5=響,c毎晋,cosB=富sin占,sinC=sin(A+B)=sin/lcosB+cos/sinB由正弦定理孟=佥=佥得6a/T0,8^55'匸5•Sw尸珈smc詁x呼x呼葺.要点三三角形的面积公式的应用例3在厶MC中，角N,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为的面积，满足S=¥(a2+/j

8、2~c2).(1)求角C的大小；⑵求sin/i+sinB的最大值.1、/5解⑴由题意可知2^^sinC=X2abcosC.所以tanC=V3,因为0