高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值（含解析）

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1、专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础知识融会贯通1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f

2、(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间)命题点1　给出具体解析式的函数的单调性【典型例题】下列函数中，值域为R且在区间（0

3、，+∞）上单调递增的是（　　）A．y＝x2+2xB．y＝2x+1C．y＝x3+1D．y＝（x﹣1）

4、x

5、【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝（x﹣1）

6、x

7、，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C． 【再练一题】已知函数f（x）＝ln，则（　　）A．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，

8、+∞）上单调递减C．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln，其定义域为R，有f（﹣x）＝lnlnf（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C． 命题点2　解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1

9、]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B． 【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（　　）A．[，1）B．（0，]C．[，]D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0

10、＜a＜1，根据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C． 思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（　　）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解

11、：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A． 【再练一题】函数f（x）＝ex﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（　　）A．[1，e﹣1]B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＞0得ex﹣1＞0，即ex＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得ex﹣1＜0，即ex＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得极小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为

12、f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A． 思维升华求函数最值的五种常用方法及