专题05 函数的单调性与最值-2016年的高考数学（理）一轮复习精品资料（解析版）.doc

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1、专题五函数的单调性与最值【考情解读】1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．【重点知识梳理】[来源:Z.xx.k.Com]1．函数单调性的定义增函数减函数定义[来源:学

2、科

3、网Z

4、X

5、X

6、K][来源:Zxxk.Com]设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当[来源:学科网ZXXK]Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2

7、)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．【特别提醒】1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接

8、利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号17汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！“∪”联结，也不能用“或”联结．【高频考点突破】考点一　函数单调性的判断例1、试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【变式探究】(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证

9、明函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数；(2)求函数y＝的单调区间．(2)解　令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．17汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．考点二　利用函数单调性求参数范围例2、若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．【拓展

10、提高】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．【变式探究】(1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________．(2)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－3【答案】(1)　(2)C考点三　利用函数的单调性求最值17汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！例3、已知函数f(x)对于任意x，

11、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．【拓展提高】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．【变式探究】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，

12、且当x>1时，f(x)<0.17汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【真题感悟】【2015高考湖北，理6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A．　B．C．D．【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数知，.【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）17汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！①；②

13、；③；④；⑤.【答案】①③④⑤（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)【答案】A　【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D