2、知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)( )A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析:设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:B4.若A=+…+,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,
3、其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是( )A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定解析:
4、不妨设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.答案:A二、非选择题6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,则 .(填“≥”或“≤”)解析:不妨设a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+
5、bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.答案:≥-6-7.设a,b都是正数,求证:.解析:观察不等式找出数组,并比较大小,用排序不等式证明.答案：证明:由题意不妨设a≥b>0.则a2≥b2,.所以.根据排序不等式,知,即.8.设a,b,c都是正实数,求证:aabbcc≥(abc.解：证明:不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,据排序不等式,有alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,
6、alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc,且alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc,以上三式相加整理,得3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc),即lg(aabbcc)≥·lg(abc).故aabbcc≥(abc.9.设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并求何时取等号?-6-解：证明:不妨设a≥b≥c,则.此时a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).于是由排序不等式,可得·a(b+c-a)+·b(c
7、+a-b)+·c(a+b-c)≤·a(b+c-a)+·b·(c+a-b)+·c(a+b-c)=a+b+c,即(b-a)+(c-b)+(a-c)≤0,a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.上式当且仅当,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.10.设a,b,c都是正实数,求证:.解：证明:设a≥b≥c>0,则,而.由不等式的性质,知a5≥b5≥c5.根据排序不等式,知.-6-又由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,.由排序不等式,得.由不等式的传递性,知.∴原不等式成立.三、备选习题1.
8、设a,b,c是正实数,求证:a+b+c≤.解：证明:不妨设a≥b≥c>0,于是a2≥b2≥c2,,应用排序不等式得:a2×+b2×+c2×≤a2×+b2×+c2×,
