非线性动力学入门-西安交通大学教师个人主页

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1、非线性动力学入门张新华西安交通大学工程力学系2011年07月前言─1687年，牛顿(IsaacNewton,1643～1727)发表了《自然哲学之数学原理》(MathematicalPrinciplesofNaturalPhilosophy)，标志着经典力学(亦即牛顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。─1788年，拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736～1813)发表了分析力学教程(AnalyticalMechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange力学属于分析力学的主要内容之一，

2、在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。─1833年，哈密尔顿(WilliamRowenHamilton,1805～1865)对Lagrange力学进行了改造，引进了相空间(2n维空间)，对系统内在的对称性(辛对称，Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要组成部分。在此后发展起来的量子力学中Hamilton力学发挥着巨大的作用。目前在天体力学、计算Hamilton力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要

3、作用。─1927年，Birkhoff(GeorgeDavidBirkhoff,1844～1944)发表了“动力系统”(DynamicalSystems)，标志着Birkhoff动力学的正式问世。Birkhoff动力学建立了研究非完整力学的框架。─1892～1899，彭加莱(HenriPoincaré,1854～1912)发表了三卷本的“天体力学中的新方法”(NewMethodsofCelestialMechanics)，系统性地提出了研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求得系统的解析解，而Poincaré意识到对于

4、大多数非线性系统而言，求其解析解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。─1892年，李亚普诺夫(AleksandrMikhailovichLyapunov,1857～1918)在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(Generalproblemofthestabilityofmotion)中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问

5、题。他提出了两种研究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线性科学的研究疆域和研究手段。─1963年，Lorenz(EdwardNortonLorenz,1917～2008)发表了“确定性非周期流”(DeterministicNonperiodicFlow)的论文，认为大气系统的性态对初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类首次借助于计算机发现了混沌(Chaos

6、)现象的存在。─1757年，欧拉(LeonhardEuler,1707～1783)发表了压杆稳定性的论文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理论(CatastropheTheory)则主要由法国数学家托姆(RenéThom,1923～2002)于上个世纪60年代创立，由齐曼(ChristopherZeeman，1925～)在70年代大力推广普及。─1834年，英国的罗素(JohnScottRussell,1808～1882)骑着马在Union运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitarywave)的i

7、“平板波”(WaveofTranslation)。并导致了第一个孤立波方程─KdV(DiederikKortewegandGustavdeVries)方程在1895年的诞生。1965年，Zabusky与Kruskal首次在计算机上找到了KdV方程的孤立波解，并发明了“孤立子”(Soliton)的概念。─1975年，曼德布洛特(BenoîtMandelbrot,1924～2010)在长期研究不规则几何对象的基础上，提出了分形(Fractal，又名“分数维”)的概念，并导致了分形几何的产生。─复杂非线性动力学系统的各个组成部分以协同(因而诞生了所

8、谓的“协同学”，Synergetics)的方式相互作用，从而可能形成拟序结构，即某种“斑图”(Pattern)。─小世界模型与无标度网络则是新兴的复杂性科学的两个重