中国古代球体积公式的历史

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1、中国古代球体积公式的历史黄越（华东师范大学数学系10141530121）摘要：本文叙述了中国古代从刘徽到祖暅通过不断努力，最后通过“牟合方盖”推导出了正确的球体积公式。并且诞生了伟大的“祖暅原理”，还另外补充了阿基米德的证明方法，指出祖暅和阿基米德两人证明的原理上是一样的。关键词：刘徽、祖暅、牟合方盖、祖暅原理、阿基米德球是一种完美的几何体，在中国甚至是世界古代，人们无时无刻不想探讨出球的表面积和体积的计算公式，但是最后往往都无功而返。汉代以前，人们测得直径为一寸的金球与边长为1寸的金立方体，其重量分别

2、为9两和16两，由此得出两者的体积之比为9:16，从而得到近似公式：93VD球16此结论被记载到了《九章算术》之中，但是如此粗略的估计很快就被其注释者刘徽所发现，并指明其是错误的。一、刘徽和“牟合方盖”《九章算术》中就认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。而刘徽注释的时候就指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方盖”（如图一，垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，也就是：V球体V4牟合方盖图1图2“牟合方盖”，分离出

3、来就如图2所示，从语言的角度上来说，“牟”就是相等，“盖”表示伞；从外形看，其很像上下相合的两把雨伞，故取名为“牟合方盖”。其实最早证明球体积与表面积的人可能是阿基米德，他收录了他致伊拉托尼的一封信，里面就涉及到了“牟合方盖”这一个模型。历史学家并没有兴趣去讨论在东亚的刘徽是否曾经读过来自地中海的阿基米德的著术，但我们或许可以假设这两位古代数学家都是独立地想到同一个有趣的例题。要发挥“牟合方盖”的作用，还要知道一个原理，即“刘徽原理”：等高的两立体，在等高处各作一与底面平行的截面，其截面之比为一个常数，

4、则此二立体体积之比也是这一常数。接着刘徽首先就是说明的是“牟合方盖”会内切一个球体，我们可以参考一下图3，而我们在图3“牟合方盖”上半部分内切一个球体的视图图3中对圆的每一个高度的横截面横向切割，就明显地知道和下图4一样：图42S圆a每一个截面的圆区域和正方形区域两者的体积之比为。因为球体与“牟2S4a4正方形合方盖”任何一个等高的截面面积之比均为:4，所以球体与“牟合方盖”的体积之比亦为:4。不过很遗憾，要求出“牟合方盖”体积的这个复杂的问题，刘徽想办法用各种木块模型去拼凑都始终没有能够

5、拼凑出来，因为“牟合方盖”分解之后是个非常复杂的立体图形，在当时尚未出现有微积分的时候，是不可能做的出来的。刘徽没有给出“牟合方盖”的体积的计算方法，他希望后人能够解决这一个问题。等到第五、六世纪，南朝的祖暅才发现“牟合方盖”的体积公式。二、祖暅与“祖暅原理”祖暅在刘徽的基础上，利用“牟合方盖”和“祖暅原理”，持之以恒，求出了“牟合方盖”的体积。祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”意思是：如果两个立体在同样高度的截面面积均相等，那么体积就会相等。在直觉上，这个原理并不难理解，我们可以取两

6、组个数相同的硬币，左边一半整齐地方程一圆柱，右半边则可以任意叠放（只要不倒），很明显就能知道这两堆硬币的体积相同。可见我们中国人的祖先的智慧绝对不比西方的莱布尼茨差，人们还将“祖暅原理”推广到n维空间中作为一个定积分的应用。前面提到刘徽证明球体和“牟合方盖”体积之比也是运用了这个原理。图5如图5，考虑位于第一象限的八分之一即可。假设“牟合方盖”外接正方形的边长为r，r也同样地为其内接球的半径。图6222如图6，四边形ABCD为一个正方形，“勾股定理”得到COCBBO，也就是说222rhCB（1）

7、222r也表示底面大的正方形的面积，CB表示的是正方形ABCD的面积，也就是说h表示的就是图5（左）中黄色部分（或者是图6（b）图中蓝色部分）的面积。考虑一个方锥如图226（c），底面积为r，在当时的条件下也不难发现在高度为h的蓝色的截面面积为h，方程（1）就改写成SSS“牟合方盖”截面方锥截面外接正方体截面那么，根据“祖暅原理”，我们得到VVV（2）“牟合方盖”方锥外接正方体1323在方程（2）中方锥的体积为r，由此可知“牟合方盖”的体积为r，加上刘徽先前就33已经知道球体积为“牟合方盖”体积

8、的四份之倍，因此2243VVV2rr.球牟合方盖正方体44363三、阿基米德的方法简介刘徽之所以没能够解决“牟合方盖”的体积问题，主要就是他不能实现截面面积的转化，“外棋”的体积求不出来。而阿基米德也是通过面积的转化（中间同样地用到了“勾股定理”）实现球体面积公式的证明。图7如图7，ABCD为正方形，弧BD为四分之一圆弧，AC为对角线，EH为平行于底边DC的任意高度线段。将四分之一圆BDC绕着BC旋转