里昂惕夫投入产出模型

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1、一、有限马尔科夫链1、马尔科夫过程是用来测量或者估计随着时间的推移而发生的移动。马尔科夫矩阵中的每个值都是从一种状态向另一状态移动的可能性。通过反复用转移矩阵乘以不同状态下的初始分布的向量，我们可以估计不同时间上的状态变化。2、假设：At和Bt分别代表在时间t上的A公司和B公司的员工人数，定义转移概率是：PAA=目前在A者还留在A的概率，PAB=目前在A者转移到B的概率，PBB=目前在B者还留在B的概率，PBA=目前在B者转移到A的概率。如果我们把在时间t上员工转移的分布写成向量，得到：x’t=矩阵形式的转移概率就是：M=,一般，对于n个时间段：n=。3、稳定状态

2、：由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵。二、里昂惕夫投入--产出模型1、投入-产出分析：任何一个产业的产出，往往是其他许多产业的投入，或者是该产业自身的投入。“正确”的产出水平将取决于所有n个产业的投入需求。同时所设想的“正确”的产出水平是为了满足技术上的投入--产出关系，不是为了满足市场均衡条件。2、投入-产出模型结构的假设：（1）每个产业仅生产一中同质的产品。（2）每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品。（3）每一产业的生产服从常数规模报酬。3、为生产每一单位j产品所需投入的第i种商品为一固定数量aij,aij称作投

3、入系数。对于n部门经济投入系数可排成矩阵A=[aij]，每一列表示生产每单位特定产业的产品所需的投入。A=4、开放模型。若上述中的n各部门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被用于满足同样n个部门的投入需求而非最终需求。同时经济中所用的所有投入将具有中间投入的性质而非基本投入的性质。为了允许最终需求和基本投入的存在，我们在n个部门的框架之外引入一个开放部门。考虑到开放部门的存在，投入系数矩阵A每一列的元素和必定小于1。即：<1,(j=1,2,…,n)，因此生产1单位j商品所需的基本投入值应为1—。若产业I要生产恰好足以满足n个产业的投入需求以及开放部门最终需求的

4、产品，其产出水平x1必定满足下列方程：x1=a11x1+a12x2+...+a1nxn+d1,或（1-a11)x1-a12x2-...-a1nxn=d1，其中d1表示对其产出的最终需求，a1jxj代表第j产业的投入需求。类似地，其他产业的产出水平应满足以下方程：x2=a21x1+a22x2+...+a2nxn+d2，.......xn=an1x1+an2x2+...+annxn+dn，用矩阵符号可以表示成：=。可将其写成：（I-A）x=d,其中x和d分别为变量向量和最终需求向量。矩阵（I-A)被称作里昂惕夫矩阵，只要（I-A)为非奇异矩阵，则可求其逆（I-A）-1

5、，X*=(I-A)-1d。6、霍金斯-西蒙条件。里昂惕夫矩阵拥有霍金斯-西蒙条件特征时，才会出现非负解。由此可得出定理：（1）给定n×n矩阵B（B=I-A),其中bij≤0(i≠j)，（2）给定一个n×1向量d≥0,则存在一个n×1向量x*≥0使得Bx*=d,当且仅当：>0,(m=1,2,...,n)，即里昂惕夫矩阵的所有顺序主子式均为正。7、霍金斯-西蒙条件的经济意义，对于两个产业的例子而言，里昂惕夫矩阵是：I-A=（1）>0a11<1,(2)>0a11+a12a21<1,经济意义是：a11测量第一种商品生产中使用自身作为投入的直接使用量，a12a21测量间接使

6、用量，给出了生产作为第一种商品的投入所需的第二种商品时要使用的第一种商品的数量。8、封闭模型。若投入--产出模型中的外生部门被纳入该系统，并成为其中的一个产业部门，则该开放模型便会变成封闭模型。在封闭模型中，不再出现最终需求和基本投入，其位置由新构建的产业部门的投入需求和产出所填补。其对应的里昂惕夫矩阵为：（I-A)X=0