第1章 对称性和群论

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1、1第一章对称性和群论§1对称操作§2群论基本概念§3分子的点群§4群的表示和特征标表§5波函数和对称性§6群论的应用2§1对称操作一、对称操作（SymmetryOperation）如图a1，2，3，4，离开原点距离相同，旋转90º得到图b,完全重合旋转90º，就是一个对称操作。点1，2，3，4，通过旋转一定的角度可以完全重合，这些点称为等价点(EquivalentPoint)。与原始构型不可区分的构型就称为等价构型(EquivalentConfiguration)。对称操作：是使物体作一种运动，

2、完成这种运动之后，物体的每一点都与物体原始取向时的等价点相重合。是使得分子转变为等价构型的一种操作！3对于分子来说，对称操作就是使分子中的原子改变位置的操作。经过这种操作除了交换原子，分子的构型不变。在分子中常遇到的对称操作有：转动、反映、反演和非真转动。例如将H2O分子放在yz平面内，z轴平分角HOH。作绕z轴转180°的操作，结果氧原子不动，两个氢原子交换位置。因为氢原子完全等同，得到的构型与原来构型没有区别，所以绕z轴转动180°的操作使H2O分子达到它的等价构型，该操作即称为对称操作。4

3、1、转动（Rotation）转动操作是将分子围绕一个轴转动2/n弧度产生它的等价构型，作n次这样的转动能与原来的构型相重合。这个轴称为n次转轴，用Cn表示转动n次，复原，相当于不动，不动也是一种操作，称为恒等操作（Indentity），用E表示。任何分子都有恒等操作。Cn1,Cn2,Cn3……，Cnn=ECnn+1=Cn1,Cnn+2=Cn2……52、反映（Reflection）反映操作是将分子中的原子对通过分子的某个平面作垂线，将该线向相反方向延长相等的距离，得到该原子的等价点。这时原子从平

4、面的一侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合。反映操作的凭借的几何平面称为反映面，用表示：n=E(当n为偶数时）n=（当n为奇数时）三种反映面：v反映面(Vertical)通过Cn轴h反映面(Horizontal)垂直于n重主轴d反映面(Diheral)包含主轴并平分垂直主轴的两个二重轴的夹角平面6直角坐标系中任意一点(x,y,z)经过反映操作后有以下结果：73、反演（Inversion）反演分子中所有的原子通过一个点反映的操作称为反演，该点称为对称中心(CenterofSymm

5、etry)，用i表示。8具有对称中心的无机分子：in=E(当n为偶数时）in=i（当n为奇数时）94、非真转动（ImproperRotation）非真转动是首先转动然后通过垂直于转动轴的平面反映的一种操作，也可以先对垂直于转动轴的平面反映然后再转动。是一种复合的对称操作。如果Cn1表示绕n重轴的一次转动，h1表示垂直于转动轴的平面反映，则Sn1表示绕n次轴的一个非真转动。Sn与Cn和h操作的顺序无关！1011Sn操作的独立性：Sn操作是一种复合操作，与转动或反映有重合。四重非真转动轴的操作：

6、五重非真转动轴的操作：12对称元素对称操作符号1.平面平面中的反映2.对称中心通过对称中心的反演i3.真轴绕轴的一次或多次转动Cn4.非真轴转动之后在垂直于转动轴的平面中反映（或其相反操作）Sn小结131、定义：对称操作的连续作用就称为对称操作的乘积2、对称操作的组合绕同Cn轴的两个转动操作的乘积仍是一个转动操作。二、对称操作的乘积与先后次序无关。NH3分子例14两个反映操作的乘积两个夹角为的反映面的反映操作乘积等同于绕着平面交线为轴的旋转夹角为2的转动操作。15转动操作和反映操作的乘积对

7、于有n重转轴Cn和v平面的分子，Cn和v两种操作的乘积相当于另一个v平面的反映操作。因此由一个Cn轴和一个v平面可以产生n个这样的v平面。当n为奇数时这些v平面之间的夹角等于2/n。如下图：16当n为偶数时，v平面的夹角为2/2n。产生n/2个v平面。原因：若按2/n产生2n个反映面，每两组重复。举例：n＝4v1平面转动/4，产生v2,v3,v4。v1和v3，v2和v4重合。由C4和v操作的乘积可产生一个新的操作，d，转动/4产生另一个d。四个平面

8、分两组：2个v平面2个d平面17A•BB•A的情况一般来说，相乘的次序不能任意交换！分子四种对称操作的乘积大部分可交换；转动和任意反映面的反映操作不能交换。18§2群的基本概念C2vEC2xzyzEEC2xzyzC2C2EyzxzxzxzyzEC2yzyzxzC2E一、群的定义水分子中的对称操作关系：水分子对称操作的乘法表：19该乘法表具有以下性质：(1)封闭性:即任意两个对称操作的乘积仍属于E，C2，xz，yz四种对称操作。(2)乘法结合律:即将任意三个对称操