6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1

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1、6.3、定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法定理6.4:设f(x)在[a,b]上连续,且x(t)满足条件:(1):当t在[,]上变化时,x(t)在[a,b]上变化,(2):(t)在[,]上连续且(,)内保持定号,b(3):a(),b(),则f(x)dxf[(t)](t)dt.a注:(t)在(,)内保持定号保证:当t单调地从变到,x也单调地从a变到b时.另外,当(t)0或(t)0且等号只在有限个点成立时,换元法仍然成立.条件(3)保证公式中的积分上下限对齐,这一点在定积分换元法中

2、很重要.证:因为f(x)在[a,b]上连续,由定理6.2知:f(x)在[a,b]上存在原函数.设F(x)为f(x)的一个原函数,即F(x)f(x).那么(F[(t)])f[(t)](t).因此F[(t)]为f[(t)](t)的一个原函数.由牛顿莱布尼茨公式知:f[(t)](t)dtF[(t)]F[()]F[()]F(b)F(a).bbb而af(x)dxF(x)aF(b)F(a),af(x)dxf[(t)](t)dt.注:求出f[(t)](t)的原函数F[(t)]后,不必像计

3、算不定积分那样要把F[(t)]变换成原来变量x的函数,只需将新的变量t的积分上、下分别代入F[(t)],然后再相减.定理6.4:设f(x)在[a,b]上连续,且x(t)满足条件:(1):当t在[,]上变化时,x(t)在[a,b]上变化,(2):(t)在[,]上连续,b(3):a(),b(),则f(x)dxf[(t)](t)dt.a注:条件(3)保证公式中的积分上下限对齐,这一点在定积分换元法中很重要.如果(t)在(,)内保持定号,则当t单调地从变到,x也单调地从a变到b时.换元必换限，不换元必不换限。1例

4、:x32xdx.0212解:令t32xt32xx(3t),dxtdt.2由t32x当x0时,t3;当x1时,t1.12注:x(t)(3t),(t)t,3,1,当t[,]时,(t)0.211111242x32xdx(3t)t(t)dt(t3t)dt03223335132413t332(3tt)dtt.21210511换元必换限，不换元必不换限。3x例:dx.01x2解:令t1x,则xt1,dx2tdt.由t1x当x0时,t1;当x3时

5、,t2.23x2t1dx2tdt01x1t232t822(t1)dt2(t).13313x2换元必换限，不换元必不换限。例:2dx.1221x13解:令xsint,则当x时,t;当x时,t.2623322故2xdx3(sint)costdt3(sint)2dt1221x6cost61cos2t1133dt(tsin2t).224126663xsint3ln12x例:求edx.换元必换限，不换元必不换限。02x1e33lnx1ln1x解:2edx2de.02x02x1

6、e1e33ln11令yex,则2dex2dy02x121e1y33arcsiny2arcsinarcsin1.12633lnx1ln1x另解:2edx2de02x02x1e1e3xln3arcsine2arcsinarcsin1.02632(2lnx)换元必换限，不换元必不换限。例:求dx.1x322(2lnx)2314解：dx(2lnx)d(2lnx)(2lnx)1x141144[(2ln2)2].432(2lnx)23另解:dx(2lnx)d(2lnx).1x122ln233令

7、u2lnx,(2lnx)d(2lnx)udu122ln214144u[(2ln2)2].4421例:1x2dx.换元必换限，不换元必不换限。0解:令xsint,则当x0时,t0;当x1时,t.212221cos2t故:1xdxcostcostdt2costdt2dt000021112dt2cos2tdt2cos2td2t022044012sin(2t).4440212另解:1xdx[arcsinxx1x]C.2111222故:1xdx