专题63：数列单调性问题的研究与拓展

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1、专题6.3：数列单调性问题的研究与拓展【课本溯源】(1)求以下数列中的最大项：-8/1+5；^=n2-7H+6总结方法：图象法；代数法(恒成立)(2)若色=斤2+加+3(其中2为实常数)，nwAf,且数列｛色｝为单调递增数列，求实数2的取值范围.【问题提出】问题1：设awR,$:数列｛(n-a)2｝得：$中Q的取值范围是2问题2：数列｛色｝满足色=加一5九+3(2为实常数)，其中neN且数列｛%｝为单调递增数列,则是递增数列；则s是(的条件.必要不充分可求实数久的取值范围为问题3：在数列｛%｝中，色=(/1+1)(*[SwNj.(1)求证：数列｛%｝先递增，后递减;(2)求数列｛%

2、｝的最大项.@=气=最大.【探究拓展】探究1:通项公式为aH=cm2+n的数列[an｝,若满足卩an+l对n>8恒成立,则实数Q的取值范围是变式1:数列｛a“｝满足cin=/(.ne.N),最小项为第zi-<2012变式2：数列｛%｝满足乙=(2为实常数，neN^,最大项为色，最小项为色，2/2-17则实数2的取值范围为•项；最大项为第变式3：数列｛%｝的通项公式为€z/?=n-k+n-2k,若对任意正整数〃，an>a3=a4均成立，则实数k的取值范围是探究2：数列仏｝的首项其前〃项和为S“，且满足S/l+Sn_[=3ii2(n>Zn^NY),变式

3、：已知数列｛禺｝的首项Qi=a,是数列｛為｝的前n项利且满足：S叮=3“％+S,i，d”#),n^2,77WN・(1)若数列a｝是等差数列，求。的值；(2)确定。的取值集合M,使aWM时，数列｛©｝是递增数列.解：(1)在S：=3/?%]+S,]中分别令n=2,n=3,及a=a得(。+。2)~=12^24~Cf,(。+02+。3)2=27心+(。+。2)2,因为e#0,所以02=12—2。，如=3+2°・因为数列｛禺｝是等差数列，所以01+如=202,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3・经检验a=3时，an—3/1,Sn=~~,S„-[=足S：=3n2alt+Sn—1・(

4、2)由出=3氏+S,i,得出一S,i=3氏,即(S+Sn-i)⑸一S”_])=3n%,即(Sn+Sn-l)an=3rran,因为诀,所以S“+S“-]=3/?,(心2),①所以S”+i+S”=3(卄1冗②②—①，得a”+i+a“=6n+3,(n$2)・③所以冷+2+给+1=6/?+9,④④一③，得a“+2—Q"=6,(〃M2)即数列如,他，心，…，及数列如,対，的，…都是公差为6的等差数列,因为他=12一2a,如=3+2。・[a,川=1,所以a“=]3x+2a—6,〃为奇数且心3,[3n~2a+6,n为偶数,要使数列｛為｝是递增数列，须有。]<他，且当/?为大于或等于3的奇数时，af

5、t1的自然数，不等式n%+©+2+…+如>—log“0一1)+一恒成立，则实数Q的取值范围为123G111解：+a〃+2+・・・+口2并=++•••+—呦,,+22”/1+1兀+2In令bn=鱼+1+色+2+…+如,••也+1=an+2+an+3+…+如+211111—2/7+22

6、n+ln+12(2h+!)(/?+!)/.Vh>1,/?g7V,blJ+l-bn>0恒成立；・•・数列｛仇｝对h>2,nwN上单调递増.11712•••(仇)min=偽+。4=§+才=込；・•・由题意可知—10gfl(a-1)+-<(bn)min二log'a-l)<-1又a>10,a工1),数列｛/(xw)｝(hgM)是首项为f(a4),公差为2的等差数列，又g(n)=xj(xn),数列g(〃)是递减数列，则a的取值范围是g鲁探究4：已知数列｛%｝的通项公式为an=-n+p,数列｛*｝的通项公式为bn=2n_5.设♦5=］：：：

7、：］；,若在数列6｝中，c8>c„(neN*,n^8),则实数p的取值范围是_(12,17)变式：已知数列｛a“｝的通项公式为an=-n+p,数列｛5｝的通项公式为bn=2n_5.设_bn,若1080

8、4(〃一2()3,n>2｛〃〃｝中不存在这样的项久，使^dk