九年级数学图形变换与证明华东师大版知识精讲

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1、九年级数学图形变换与证明华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：图形变换与证明我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题。要求：会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形的变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。【典型例题】例1.与关于点O成中心对称，直线m经过点O，与关于直线m对称。是否存在这样的直线，使得与关于该直线对称？如果存在，请指出该直线具有何特征？解：这样的直线是存在的，即存在直线n，使得与关于直线对

2、称。直线经过点O，且直线垂直于直线。说明：图形经过两次翻折（对称轴互相垂直），得到的图形与原图形关于两条对称轴的交点成中心对称；而图形经过两次翻折（对称轴相交），得到的图形可以看作是原图形绕着两条对称轴的交点旋转得到的，旋转角为两条对称轴的夹角的两倍。例2.请你不借助作图工具画一个三角形的高线。简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们

3、所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。用心爱心专心简解：如图，已知作的BC边上的高。方法：把点C沿CB边对折，使折痕经过点A，且点C落在BC的点处，则折痕AD就是所要求画的高。例3.四边形ABCD中，。求四边形ABCD的面积。分析：由已知，可知，如果将绕点C旋转到的位置，那么四边形ABCD的面积与等腰直角三角形ACE的面积相等，于是本题便可获解。解：连结AC，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点E。由，得所以，所以所以由，得所以即四边形ABCD的面积为4。例4.一个人身高1.8米，晚上站在路灯下，他的影长为1.5米，若

4、他沿着影子方向移动1.5米站立，影子增加1米，求路灯的高度。分析：首先根据题意，我们可以得出站立的人和路灯是平行关系，这样就可以找到两组相似的三角形，根据相似三角形的性质，就可以求出路灯的高度。解：如图，设路灯高为H，人高为h，则因为，所以，那么，即（相似三角形对应边成比例）（1）用心爱心专心因为，所以，同理可得：，即（2）由（1）和（2）可解得：（米）答：路灯的高度为4.5米。例5.如图，矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若折痕，且，求矩形ABCD的周长。简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长。根据已知条件

5、可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。解：根据题意AD边对折，点D落在BC边上的点F处，有，所以故则所以因为，在矩形ABCD中，所以故则又设，则所以因此故由勾股定理，有，且解得（舍负值）所以所以，矩形周长为36cm。用心爱心专心例6.如图，D是的BC边中点，过D作直线交AB、CA延长线于E、F，当时。求证：简析：根据图形条件与已知中的在同一三角形，不在同一三角形里，且要证明的结论BE与CF也不在同一三角形中，要证明结论就需要把相应的线段移动到同类图形中，并且能利

6、用这些条件形成新的图形关系，以便达到求解的目的。证明：如图，过C点作CM//AB交FD延长线于M点。则因所以则所以在与中所以故所以例7.如图，矩形ABCD中，E是BC中点，，确定与的比值。用心爱心专心简析：要确定这两个图形的面积的比值，就需要找到一个可以沟通这两个图形之间关系的面积，由于连结了BD，那么就是它们之间的桥梁，剩下的问题就需要研究四边形BEFD的面积与面积之间的关系了，这时解读好E是BC中点及就是关键。解：连结由面积关系可知，同理，有所以，有及即所以，故例8.已知：如图，中，D是BC上一点，，。求证：证法一：过B点作交

7、AD延长线于F则及在与中，所以则用心爱心专心因为则即证法二：过D点作交AB于F。（如图）则及因故在与中则所以又因则即例9.求证：同垂直于一条直线的两条直线平行。已知：如图，于A，于B求证：m与n平行。证明：假设m与n不平行即设m与n相交，且交于P点因为且所以，过P点有两条直线与已知直线垂直。此结论与“过一点有且仅有一条直线与已知直线”相矛盾，所以假设不成立。所以例10.已知：如图，在直角坐标系中，四边形AOCB是正方形，点C的坐标为（2，0），你能否在BC上找到一点E，使正方形沿直线AE对折后，点B落在正方形内部的F点处，且使该点

8、与正方形的四个端点的连线构成四个等腰三角形，试确定的度数并求出F点的坐标。用心爱心专心解：如图（1），作AB中垂线MN以B为圆心，BC为半径作圆，交MN于F点为等边三角形，过作轴于G（1）如图（2）（，1）（解法略）用心爱心专心【模拟试题】（答题时