九年级数学证明华东师大版知识精讲.doc

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1、初三数学证明华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：证明1.证明的认识2.用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。二.教学过程：（知识点回顾）1.用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。（4）全等三角形的对应

2、边、对应角分别相等。2.等腰三角形：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。（2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。3.角平分线：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。4.线段的垂直平分线上（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段

3、的垂直平分线上。【典型例题】例1.“三角形内角和180°”的证明。方法1：方法2：用心爱心专心方法3：方法4：（注：通过作平行线将角转化），证明过程略。例2.“四边形的内角和等于360°”的证明。常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：用心爱心专心也可以通过平移角的方法证明：DE∥BC，FH∥AB∠4＝∠6＝∠B∠3＝∠C∠5＝∠A∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠5＋∠4＋∠3＋∠ADC＝360°例3.如图，已知：AB∥DE，观察∠A、∠C、∠D的关系如何？图1：方法一：延长CD交AB于F∵AB∥DE∴

4、∠1＝∠CDE又∵∠1＝∠A＋∠C∴∠CDE＝∠A＋∠C方法二：延长ED交AC于F∵AB∥DE用心爱心专心∴∠CFD＝∠A又∵∠CDE＝∠C＋∠CFD∴∠CDE＝∠C＋∠A方法三：过C作CF∥AB∵AB∥DE，∴DE∥CF∴∠1＋∠D＝180°∠1＋∠2＋∠A＝180°∴∠D＝∠2＋∠A图2：方法一：∵AB∥DE∴∠A＝∠DEA＝∠D＋∠C方法二：延长BA、CD交于F∵AB∥DE∴∠F＝∠EDC∴∠BAC＝∠F＋∠C＝∠EDC＋∠C方法三：解略此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。用心爱心专心例4.已知AD

5、⊥CD，∠C＝15°，∠ABE＝30°，求∠A。解：方法一：延长AB交CD于F则∠ABE＝∠CBF＝30°∴∠AFD＝∠C＋∠CBF＝15°＋30°＝45°∵∠ADF＝90°∴∠A＝180°－∠ADF－∠AFD＝45°方法二：过B作BF∥CD交AD于F则∠EBF＝∠C＝15°，∠BFA＝∠CDA＝90°∴∠ABF＝∠ABE＋∠EBF＝45°∴∠A＝180°－∠ABF－∠AFB＝45°例5.已知：如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上。求证：BC＝AB＋CD（分析：一般证明线段和差

6、时有截长法，补短法）方法一：截长法（因为要证BC＝AB＋CD，在线段BC上截取BF＝AB，然后证明CF＝CD，或在BC上截取CF＝CD，再证明BF＝AB。）如上图，在BC上截取BF＝AB，连结EF在△ABE和△FBE中用心爱心专心∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠A＝∠EFB∵AB∥CD∴∠A＋∠D＝180°又∵∠BFE＋∠EFC＝180°∴∠EFC＝∠D在△EFC和△EDC中∴△EFC≌△EDC（AAS）∴FC＝CD∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD证法：补短法（延长BE交CD的延长线于G，如图，再证明DG＝AB，从

7、而转证BC＝CG，则由△BCE≌△GCE可得，再证△ABE≌△DGE可有结论DG＝AB。）∵AB∥CG∴∠ABE＝∠G又∵∠ABE＝∠GBC∴∠G＝∠GBC在△GEC和△BEC中∴△GEC≌△BEC（AAS）∴EG＝EB，CG＝BC在△ABE和△DGE中用心爱心专心∴△ABE≌△DGE（ASA）∴AB＝DG∴BC＝CG＝CD＋DG＝CD＋AB例6.如图，四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠DAB＝30°，∠ABC＝60°且四边形ABCD的面积为，求AD的长。解：将不规则四边形转化成特殊三角形，延长AD、BC交于

8、E∵∠A＝30°，∠B＝60°∴∠E＝180°－∠A－∠B＝90°∵AB＝8由勾股定理：∵BC＝1，∴CE＝BE－BC＝3又例7.已知：AB＝AC，D是BC上任意一点，DE⊥AB。求证：∠A＝2∠EDB解：方法一：利用等腰三角形的性质（即三线合一）过A作AF⊥BC于F用心爱心专心∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC即∵∠B＋∠1＝90°DE⊥AB于E∴∠B＋∠B