九年级数学圆的认识华东师大版知识精讲.doc

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1、九年级数学圆的认识华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：第二十三章第一节圆的认识［知识与技能］1.了解圆的基本元素，认识圆心角和圆周角。2.掌握同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。3.了解一个圆中垂直于弦的直径的性质。4.掌握半圆（或直径）与所对的圆周角之间的关系。5.理解并掌握圆周角的性质，并会运用这些性质进行推理或计算。二.教学过程［知识点回顾］1.圆的基本元素：（1）圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径长度确定，半径相等的两个圆为等圆。（2）连结圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径，直径是

2、弦，但弦不一定是直径。（3）圆上任意两点间的部分叫弧，直径两个端点间的弧叫做半圆，大于半圆周的圆弧叫做优弧，小于半圆周的弧叫劣弧2.圆的对称性（1）圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，圆具有旋转不变性，即圆无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。（2）在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等。（3）垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧（垂径定理）3.圆周角（1）顶点在圆上并且两边与圆相交的角叫圆周角。（2）半圆或直径所

3、对的圆周角都相等，都等于90°（3）同弧或等弧所对的圆周角相等。（4）在同圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。（5）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（6）90°的圆周角所对的弦是直径。【典型例题】例1.如图1，CD是⊙O的直径，∠EOD=87°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求：∠A的度数。用心爱心专心图1解：连结OB∵AB=OC，OB=AB∴OB=AB设∠A度数为x，则∠BOA=x∴∠OBE=∠BOA+∠A=2x∵OE=OB∴∠OEA=∠OBE=2x∴∠EOD=∠E+∠A=3x=87

4、°∴x=29°，∴∠A=29°例2.已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求：弦AB与CD间的距离。分析：本题有两种情况，（1）AB、CD在圆心O的同侧，（2）AB、CD在圆心O的两侧。解：（1）AB、CD在圆心O的同侧，作OF⊥AB于F，交CD于E（如图2）图2∵AB∥CD，∴OE⊥CD由垂径定理，知连结OA、OC，OA=OC=25∴AB与CD之间的距离EF＝15－7＝8cm（2）AB、CD在圆心O的两侧（如图3）用心爱心专心图3AB与CD之间的距离例3.点A、B、C在半径

5、为2cm的⊙O上，若，求：∠A的度数。分析：此题要分类讨论，考虑A点在BC所对的优弧上或BC所对的劣弧上两种情况。解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图4（1）。图4（1）连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则BD在Rt△ODB中，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°∴∠A=60°当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图4（2）图4（2）连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOC=120°故∠A的度数是60°或120°。例4.如图5，已知⊙O中，直径AB为10c

6、m，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：BC、AD和BD的长。用心爱心专心图5分析：“直径所对的圆周角是直角”是圆中的基本图形，解题时应充分利用。解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中∵CD平分∠ACB，，∴AD=BD在Rt△ADB中，。例5.如图6所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）图6A.到CD的距离保持不变B.位置不变C.D.随C点的移动

7、而移动解：连结OP，因为OC=OP，所以∠1=∠P又因为CP平分∠OCD，所以∠1=∠2所以∠2=∠P，所以CD∥OP因为CD⊥AB，所以OP⊥AB而过O点垂直于AB的直线只有一条，所以P点位置不变。例6.已知，如图7，⊙O中的弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm用心爱心专心，求：⊙O的半径。图7解：连结OA，过点O作OM⊥AB于点M则∵P在AB上，PA=4cmcm在Rt△OMP中，在Rt△OMA中，∴OA=7cm，即⊙O半径是7cm。小结：由垂径定理而产生的直角三角形在计算问题中有

8、广泛的应用。例7.如图8，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，证明：图8（1）证法1：连结AD∵直径BD，∴∠BAD=90°∵AF⊥BD，∴∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠D=90°∴∠BAF=∠D∵∠D=∠C∴∠C=∠BAF∵∠ABC=∠ABC∴△ABG∽△CBA∴证法2：延长AG交⊙O于M[如图8（2）]用心爱心专心图8（