2020高考数学（文）大一轮精讲练精练：第五章 数列 课下层级训练30含解析

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1、课下层级训练(三十)　数列求和[A级　基础强化训练]1．(2019·广东广州调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)A．n2＋1－　　　　　B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－A　[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.]2．(2019·山东滨州月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S8＝(　　)A．127　　B．192　　C．255　　　D．511C　[因为{an}是等比数列，设公比为q(q≠0)且S2＝3，S4＝15.知q≠1.所以S4＝S

2、2＋a3＋a4＝3＋(a1＋a2)·q2＝3＋3·q2＝15，则q2＝4，因为S8＝S4＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝15＋(a1＋a2＋a3＋a4)·q4＝15＋15q4＝15＋15×16＝255.所以S8＝255.]3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是(　　)A．16B．20C．33D．120C　[由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4．(2019·山西太原月考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且关于x的方程a1x2－a3x＋a2＝0有两个相等

3、的实根，则＝(　　)A．5B．14C．21D．27C　[根据题意，关于x的方程a1x2－a3x＋a2＝0有两个相等的实根，则有(a3)2－4a1a2＝0，变形可得q4－4q＝0，即q3＝4，则＝＝＝＝21.]5．(2018·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为(　　)A．1026B．1025C．1024D．1023C　[∵＝1＋n，∴Tn＝n＋1－，∴T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，∴整数m的最小值为1024.]6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则

4、＝__________.　[设等差数列{an}的公差为d，则由得∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.]7．(2019·河南商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为__________.2n＋1－2－n　[由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.]8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.2n＋1－2　[因为an＋1－an＝2n，所以

5、an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.所以Sn＝＝2n＋1－2.]9．(2019·河南六市联考)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜.证明　(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2SnSn－1，－＝2，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn＝＜＝·＝.从而S1＋S2＋S3＋…＋S

6、n＜1＋＝－＜.10．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝()1＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)∵Sn＋1＝Sn＋an＋2，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋2.∴数列{an}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴a1·(a1＋4d)＝(a1＋d)2⇒a1·(a1＋8)＝(a1＋2)2.∴a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可得：bn＝(2n－1)·()2n＝(2n－1)·2n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1·

7、21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，∴2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1.错位相减得：－Tn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝2＋2n＋2－8－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.[B级　能力提升训练]11．已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为