数列压轴大题解题(放缩法)应用技巧

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1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需耍有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全而而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下儿种：一、裂项放缩例1.⑴、求£k=4k2的值;n1(2)、求证：£飞k=k一2解析：⑴、因为而_]一（2”_卅2斤+1）_2川_]2斤+111，所以£^^=1——=旦一-12n+2/?+1⑵、因为丄rr14<=—;214n2-1n-4<2^-12n+1丿<1+

2、2丄亠(352n-12n+1)32n+l5奇巧积累:⑴、11n2<21n——4⑵、1吞厂（卄1）如1）11n[n_1)72(77+1)⑶、nT『C：V_恂—r11111/、八⑷、1+-n)G+丄+2x13x2L+…+⑸、1112k(2k-1)~2"-124n+厶+1v_2_12<22a/h4n2^/n』n_+⑺、，21]J__11,2〃+1一2m+3丿•刃一(2〃+1)•2心一(2〃+3)•2"l>、2亿••…9P•乙9F•乙t7•乙乙「[匸竺〃〉（【_吃）••呜£【++「£订+「？+「理不'⑻上二＞竺+・..+兰+2!+卫：瞬、⑺IIIIII'）:（齐“）（「“眈―叱p-_,]」+

3、…+¥+*+【：畤、⑴•乙呦（【+#+£+#）（14■乙y+寸绅「_2）/一/EZFIZ#'⑼）（I+U艸（乙N町1_u卜一if〉一_厂丄、⑼）住+孑）i（I+Y）」（7+?）+i（l+?）+MII7丄7E忆＜（[—忆）£U£V忆・（l—£）=忆•乙=叶忆、（"）>I【—"〃+【+巧II一叶_[+2俨][+"）时艸、Iii7空牛込罕5）（閃7）1一忆1-川_（1-卜卫1-詞I—2亿〃+1+佗〃十牛、（n）u・（0[）吐L也匕、⑹IU3彳+【（彳+1+"）"」+"解析：（1）、因为1⑵、(2n-1)2(2〃_1)・(2m+1)_2(2m_1<11>1+2(32/?-1；In+1丿，

4、所以111、1r,1)1+—+•••+—<—1+1——4<22心4(nJ4n21111—I—I—…+416362-4••…(2/1)°丿2拜+1'（3）、先运用分式放缩法证明出1心……（加一1）1厶+22厶+2Vn+Qn+2再结合-^==2(Vn4-1—y/n)—.厂QnVw+1+Vn「1112V22/7+1-V2/?—1)—.V2h+1+V2h-12~~r77+—+2而由均值不等式1n——2知道这是显然成立的，所以1+令+右+…+扌V血”例3.求证:6n(n++1)51+丄+丄+・・・+丄49n2解析：一方而,114(

5、11、因为=—=2•所以rT214n2-1v2n-12〃+1丿4斗+2丄一—T^k2(352料-12舁+1=1+1_2,+15<-3另一方面:「I1t11149n"2x33x4n+1)亠丄二亠n+1n+1当n=1时,6n(；7+lX^n+1)=1+—49n当n=2时,(錚、<1+丄+丄+…+4(/?+卅2〃+1)496nn+1(n+l)-(2n+1)所以综上有:6n{fi++1)51+丄+丄+・・・+49例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)=x-xx.数列仏}满足：0<1,aM=f{ak).设be(6/1?1),整数k>—~•证明:ak+{>b.%lnb解析：由数学归纳法可

6、以证明{勺}是递增数列，故若存在正整数mb,贝'Jak+x>ak>b.若ama}+(bx-ax)=b.k因为工4”1叫-l,S加=1"+2川+3川+・・・+77：求v(m+l)S川<(n+l)m+,-1.解析：首先可以证明：(1+x)n>+nxnm+i=nm+i-{n-l)w+,+(n-l)w+1-(n-2)W,+I+•••+1-0=£[严

7、-@-i)Tk=所以要证:严v(m+1)5,,<(n+l)w+,-1£[严-仗-1)"叫<(加+1)£匚"v@+i严-1k=+n/n+,-(n-l)/，，+1+…+2曲一1曲k=只要证:=s+l严-，严=£推+1严-严Jt=l故只要证:£[kw,+1-(jt-l)w+，]<(m+1)£旷v£恢+1)即等价于:严-(k-1严<(m+1>W<(k+1严-严,i/1、加+l,i/1、加+1即等价于：1+巴丈1