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1、压轴题放缩法技巧全总结！高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以技巧积累:(1) (2) (3)
2、 例2.(1)求证:(2)求证: (3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..设，整数.证明:.解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列,故若存在正整数,使,则,若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证:
3、. 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以 从而例7.已知,,求证:证明:,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：.解析:先构造函数有,从而cause所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式:,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,
4、,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以例14.已知证明. 解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，
5、本题还可用结论来放缩： ，即例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 ∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有而即令则 例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数；(II)当； (III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到(3)…… 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以
6、 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得 即例20.证明:解析:运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到:所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析:例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>
7、;4，;(2)证明有，使得对都有<. 解析:(1)依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 &nbs
