高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结

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1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)、求的值;(2)、求证:.解析:(1)、因为,所以(2)、因为，所以奇巧积累：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、;(7)、(8)、;(9)、(10).(11)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)、例2.(1

2、)、求证:；(2)、求证:；(3)、求证:；(4)、求证：；解析:(1)、因为,所以(2)、(3)、先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案.(4)、首先所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以.例3.求证:.解析:一方面,因为.所以另一方面：当时,,当时,,当时,,所以综上有：.例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足：，.设，整数.证明:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故若存在正整数,使,则.若,则由知:,因为,于是.例5.已知,,,求证:.解析:首先可以证明:所以要证:只要证:故只要证:即等价于:即等价于:而正是成立的,所以原

3、命题成立.例6.已知,,求证:.解析：=所以：==从而：二、函数放缩例8.求证：.解析:先构造函数有,从而又因为所以:例9.求证:当时，.解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案.函数构造形式:,.例10.求证:.解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数.首先:从而:取,有:,所以有,,,,.相加后可以得到:另一方面:.从而有取,有:.所以有:.所以综上有:.例11.求证:和.例12.求证:.解析:,叠加之后就可以得到答案.函数构造形式:(加强命题)例13.证明:.解析:构造函数,求导可以得到:令，有；令，有.所以,所以,令,有：.所以,所以

4、.例14.已知，.证明：.解析:因为，.所以：.然后两边取自然对数,可以得到：.然后运用和裂项可以得到答案.放缩思路：于是：所以：即：.注：题目所给条件为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：.对上述不等式两边取对数得：即：.例15.已知函数.若,证明：.解析:设函数.令，则有∴函数在上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有.而∴,即令,则.∴.即：例16.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(1)、求证：函数在上是增函数；(2)、当时，证明：；(3)、已知不等式在时恒成立.求证：.解析:(1)、因为,所以函数在上是增函数；(2)

5、、因为在上是增函数,所以：将上述两式相加后可以得到：；(3)、（方法一）因为：……将上述不等式相加后可以得到:所以：令,有：故：(方法二)：所以：又,所以：三、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀：”小者小,大者大”解释:看,若小,则不等号是小于号,反之则反之.例17.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得:.即：.四、分类放缩例18.求证:.解析：-=.例19.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在轴上的截距为.点的横坐标为.(1)、证明：；(2)、证明：存在，使得对都有.解析:(1)、依题设有：，，由得

6、，又直线在轴上的截距为满足：，，=显然，对于，有.(2)、证明：设，则设，则当时，所以，取对都有：故有成立.例20.(2007年泉州市高三质检)已知函数，若的定义域为，值域也为.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数，使得对于任意正整数都有?并证明你的结论.解析:首先求出.∴,,,.故当时,.因此，对任何常数，设是不小于的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数使,对所有的正整数恒成立.五、迭代放缩例21.设,求证:对任意的正整数,若恒有:.解析：又，所以.六、借助数列递推关系例22.求证:.解析:设,则从而相加后就可以得到:例23.若求证:.解析:.所以就有:.七、分类讨论例

7、24.已知数列的前项和满足:.证明：对任意的整数，有.解析:容易得到,由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时:（减项放缩）于是:①、当且为偶数时②、当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证.八、线性规划型放缩例25.设函数.若对一切,，求的最大值.解析:由知：即.由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为1.因此对一切，的充要条件是,即，满足约束条件，由线性规划得，的最大值为5．九、均值不等式放缩例26.设.求证:.解析:此数列的通项为