（江苏专用）2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案

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1、§7.4　基本不等式及其应用考情考向分析　主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几

2、何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y＝x＋的最小值是2吗？提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x

3、x≠0}

4、，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　×　)(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)(3)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)题组二　教材改编2．[P88T4]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案　81解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤2＝

5、81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．[P89例1]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.答案　25解析　设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三　易错自纠4．“x>0”是“x＋≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　充要解析　当x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)．因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>

6、0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件．5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案　3解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是________．答案　5解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x＝1时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.题型一　利用基本

7、不等式求最值命题点1　配凑法例1(1)已知01)的最小值为________．答案　2＋2解析　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．(3)函数y＝的最大值为________．答案　解析　y＝，当x－1＝0时，y＝0，当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝.命题点2　常数代换

8、法例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．答案　3＋2解析　由x>0，y>0，得(x＋y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当y＝x时等号成立，又＋＝1，则x＋y≥3＋2，所以x＋y的最小值为3＋2.(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．答案　解析　正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，∴＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥＝，当且仅当x＝2y＝时，min＝.命题点3　消元法例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________．答案　解

9、析　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b>0，∴≤，∴－≥－