高一数学人教A版必修1学案：教材梳理212指数函数及其性质

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1、疱丁巧解牛知识•巧学•升华一、指数函数及其性质1.指数函数的定义一般地，函数y二a*（a>0且aHl,xWR）叫做指数惭数，其中x是自变量.由于当a=0时，若x>0,a'恒等于0；若xWO,a*无意义.当a<0时，如y二（-2）%,对x二…，-丄，—,—,…在实数范围内函数值不存在.242当沪1时，y=lx=l,是一常量，没有研究的必要.综上可知，当“W0或21时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a>0且aHl.只有形如y=ax（a>0且aHl）且定义域为R的函数，才是指数函数，又如y=3-2X,y=2x-l,y=2

2、x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数“>0且aHl的情况下，对任意一个x都有唯一确定的值y与它对应，所以x是任意实数.2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2*及y=0.5x图象列出x,y的对应值表，用描点法化出图象:要点提示函数y=a'与严f的图象关于y轴对称.（2）指数函数y二/在底数“>1及0V&V1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a>l0)鬥1/(o

3、0,+8）③过点（0,1）,即x=0时，y=l④在R上是增函数，当xVO时，OVyVl；当x>0时，y>l④在R上是减函数，当xVO时，y>2；当x>0时，OVyVl指数函数的单调性是指数函数性质小应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等.指数函数的图象变换有两种：-•种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”.平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变.指数函数的图彖变换可以推广到我们学过的任何函数.研究函数的性质，可明确图象的形

4、状;通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解•二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象來解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：断数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等.要点提示①指数函数的图象恒在X轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=ax(a>l)在x>0的方向上增幅越来越快;④指数函数由唯一的常量a确定.⑤y=cix(O

5、同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小；②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小；③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小.问题・思路・探究问题1为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用.探究:因为通过图彖我们可以直观地看到，任取a({a

6、a>0且aH1}),图象始终过定点(0,1),图象始终在x轴的上

7、方；当a>l时笫一象限的图象与0W1时笫二象限的图象始终在直线y=l的上方，当a>l时第二象限的图象与Ovavl时第一彖限的图彖始终在直线y=l的下方，当a>l时，图象是上升的，当0。<1时，图象是下降的.所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律.问题2函数y二少的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a

8、x

9、：其图象是关于y轴対称的，所以只要先把的y轴右边的图象保留，再将y轴右边部分关于y轴作出对称部分；就得到了尸屮的图象.探究:函数尸2冈的

10、图象关于y轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x>0)的图彖和y=(^)x(x<0)的图象合并而成，而y=2"(x>0)与y=(-)x(x<0)的图象关于y轴对称，所以函数y=2凶的图象关于y轴对称，由图象可知值域是［1,+8)，递增区间为［0,+8),递减区间为(・8,0］问题3函数y=ax+h+k(a>0且aHl)的图象恒过点(-h,1+k)，为什么?思路：一般地，把函数y=f(x)的图象向右平移m个单位得函数y=f(x-m)的图彖(mWR,mVO就是向右平移

11、m

12、个单位)；把函数y二f(x)的图象向上平移n个单位，得到

13、函数y=f(x)+n的图象(nWR,若n<0,就是向下平移

14、n

15、个单位=探究:函数y=ax+h+k(a>0且aHl)的图象可由y=ax(a>0且aHl)的图象向左(当h>0时)或向右(当h<0时)平移

16、h

17、个单位，再向上(当k>0时)或向右(当kvO时)平移

18、k

19、个单位而得到，因为y=ax