第二十一章 一元二次方程

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1、第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分

2、式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当

3、⊿＝b2－4ac≥0时，将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b2－4ac＞0

4、方程有两个不相等实数根；②⊿=b2－4ac=0方程有两个相等实数根；③⊿=b2－4ac＜0方程没有实数根；④⊿=b2－4ac≥0　方程有两个实数根。（3）应用：①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么（2）应用：①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；②

5、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；

6、匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。三、典型例题辨析1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=02、当m时,关于x的方程(m+2)x

7、m

8、+3mx+1=0是一元二次方程.3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4、根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断关于x的方程ax2+bx+c=0(

9、a≠0)的一个根x的取值范围是________。5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为，的值为.9、已知方程的两根为，则的值为。10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_____

10、__．12、解下列方程：