辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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1、沈阳铁路实验中学2014~2015学年度下学期期中试题高二数学(理)时间：120分钟满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共计60分)1.复数等于()[来A．4iB.-4iC.4D.-42.设，则A.B.[:C.D.3.若(为虚数单位)，则的共轭复数为()A.B.C.D.4.曲线f(x)=x3－2x+1在点(1，0)处的切线方程为()A．y=－x+1B．y=x－1C．y=2x－2D．y=－2x+25.函数的图象如下图所示，则导函数的图象的大致形状是()6.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排

2、成一个正三角形1361015则第个三角形数为()A.BC.D.7.如图所示，由函数与函数在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为()A．B．C．D．8.已知复数(为虚数单位)为纯虚数数，则的为A．B．C．D．9.已知函数f(x)=在[1，+∞]上为减函数，则a的取值范围是()[:Z§xx§k.Com]A．　B.C.　　D.10.己知函数是定义域为R的奇函数，且，的导函数的图象如图所示.若正数满足，则的取值范围是()A．B．C．D．11.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B.C．(0，1)D．(0，＋∞)12.定义

3、在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则A．B．C．D．二、填空题(共4小题，每小题5分，共计20分)13.设是虚数单位，则等于14.函数在上的单调递增区间为15.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于16.已知函数，则的极大值为.三、解答题(共6小题，共计60分)17.(10分)(1)设≥＞0，求证：≥(2)已知中至少有一个小于2.18.(12分)函数的图像在点P(1，0)处的切线斜率为2.(1)求

4、a，b的值；(2)证明：对任意正实数x恒成立.19.(12分)设函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值.(3)若方程有实数解，求实数的范围.20.(12分)已知函数(Ⅰ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的极值点，求在上的最大值和最小值.21.(12分)观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去(Ⅰ)写出第个等式；(Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．22.(12分)已知函数.(1)设函数，求函数的单调区间；(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.2014-2015高二下学期期中考试答案2

5、3.D24.A25.A26.B27.D28.B29.D30.A31.D32.B33.B34.D35.36.37.38.【解析】试题分析：因，所以故，易知当时，当时，所以是其极大值点，故39.(10分)(1)设≥＞0，求证：≥(2)已知中至少有一个小于2.【解析】试题分析：【1】先作差然后利用综合法的思想证明即可.因为≥＞0，所以≥0，＞0，从而≥0，即≥【2】证明：假设都不小于2，则因为，所以，即，这与已知相矛盾，故假设不成立.综上中至少有一个小于2.40.(12分)函数的图像在点P(1，0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：对任意正实数x恒成立.【解析

6、】试题解析：由题设，y＝f(x)在点P(1，0)处切线的斜率为2．∴解之得6分因此实数a，b的值分别为－1和3．(2)证明(x>0)．设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－．当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0．∴g(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0，∴f(x)-(2x-2)≤0，即f(x)≤2x-2，得证12分考点：利用导数研究函数切线及最值41.(12分)设函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值.(3)若方程有实数解

7、，求实数的范围.【解析】(1)2ex-y-e=0(2).令，得；列表如下[:Zxxk.Com]-0+极小值的单调递减区间是，单调递增区间是极小值=(3)42.(12分)已知函数(Ⅰ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的极值点，求在上的最大值和最小值.【答案】(1)函数求导得，在区间上是增函数，则在恒成立，即在恒成立，，在为增函数，则，(2)，是的极值点，则，解得，，，，变化如下表：+0-0+-2增函数[:网]减函数-18增函数-12所以，【解析】在区间上是增函数，转化为导函数大于等于0在恒成立解；(2)根据是的极值点，求出a