门爱东老师DSP讲义第3章1

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1、门爱东教授menad@bupt.edu.cn数字信号处理DigitalSignalProcessing第3章离散傅里叶变换及其快速计算方法主题概述1-绪论2-离散时间系统和离散时间信号的变换3-离散傅里叶变换及其快速计算方法3.1问题的提出3.2DFS（离散傅里叶级数）3.3DFT（有限离散傅里叶变换）3.4FFT（快速离散傅里叶变换）3.5CZT及其快速算法3.6其它变换3.7本章小结4–IIR数字滤波器设计和实现5–FIR数字滤波器设计和实现6–数字信号处理中的有限字长效应JeanBaptisteJosephFourier1768年3月21日生于法国Bourgogne,Auxer

2、re1830年5月16日死于法国巴黎2连续信号xa(t)，其傅里叶变换为xa(t)为时域连续信号。Xa(Ω)为频域连续信号。3.1问题的提出：连续信号的傅里叶变换3离散信号在两种变换域中的表示方法：1）离散时间傅里叶变换DTFT--提供了绝对可加的离散时间序列在频域（ω）中的表示方法。2）Z变换--提供任意序列的z域表示。这两种变换有两个共同特征：1）变换适合于无限长序列；2）它们是连续变量ω或z的函数3.1问题的提出：离散信号的变换4问题：X(z)，X(ejw)都是连续的，利用计算机处理有困难，例如使用Matlab，因此提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题；必须截断序列，得到有限

3、个点的序列。目标：我们需要得到一个可进行数值计算的变换方法：1）DTFT-频域中原始信号频谱的周期拓展2）对DTFT在频域中采样--DFS。3）将DFS推广到有限持续时间序列DFT。（DFT避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现的变换方式。）DFT已成为DSP算法中的核心变换，原因：1.成为有限长序列傅里叶变换的重要方法。2.有快速算法。3.1问题的提出：可计算性5时间函数频率函数3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率周期离散时

4、间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率61.非周期连续时间信号：傅里叶变换FT时域连续函数造成频域是非周期的谱。时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式72.周期连续时间信号：傅里叶级数FS时域连续函数造成频域是非周期的谱。频域的离散对应时域是周期函数。3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式时域周期频域离散83.非周期离散信号：离散时间傅里叶变换DTFT时域的离散化造成频域的周期延拓时域的非周期对应于频域的连续3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式时域离散频域周期取样定理94.周期离散时间信号：离散傅里叶级数DFS一个域的离散造成另一个域的周

5、期延拓离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周期的3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式kTT1n周期取样间隔时域周期、离散频域周期、离散10四种傅里叶变换形式的归纳总结：形式时间函数频率函数傅里叶变换FT连续非周期非周期连续傅里叶级数FS连续周期(T0)非周期离散(Ω0=2π/T0)离散时间傅里叶变换DTFT离散(T)非周期周期(Ωs=2π/T)连续离散傅里叶级数DFS离散(T)周期(T0)周期(Ωs=2π/T)离散(Ω0=2π/T0)离散时间函数的取样间隔：T1，取样频率：离散频率函数的取样间隔：F0，时间周期：3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式结论：①时域中函数取样(离散

6、)（映射）频域中函数周期重复；②频域中函数取样（映射）时域中函数周期重复；③取样间隔（映射）周期（2π/间隔）110nN(d)DFSk0N-N1/T-N(c)FSW-ΩmXa(kΩ1)tTm0T1-T11Ω1Ωmnx(n)=xa(nT)Tm0(b)DTFTWΩm-ΩmΩs-Ωs1/TTtxa(t)Tm0(a)FTWΩm-ΩmXa(Ω)时域中函数的取样和频域中函数的取样3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式12主题概述1-绪论2-离散时间系统和离散时间信号的变换3-离散傅里叶变换及其快速计算方法3.1问题的提出3.2DFS（离散傅里叶级数）3.3DFT（有限离散傅里叶变换）3.4

7、FFT（快速离散傅里叶变换）3.5CZT及其快速算法3.6其它变换3.7本章小结4–IIR数字滤波器设计和实现5–FIR数字滤波器设计和实现6–数字信号处理中的有限字长效应13由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延拓。因此可以设想，如果同时对频域和时域取样，其结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得到它们之间的离散付氏级数DFS关系。3.2DFS及其性质14基本关系式