3.3.2简单的线性规划问题(1)

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1、xyo3.3.2简单的线性规划问题（1）一、实际问题某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843o若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获

2、利3万元，采用那种生产安排利润最大？设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y把z＝2x＋3y变形为它表示斜率为的直线系，z与这条直线的截距有关。如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。M二、基本概念yx4843o把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。由所有可行解组成

3、的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化

4、合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格三、例题解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率为随z变化的一组平行直线系是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两

5、条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。四、练习题：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：解：作出平面区域xyABCxyooABC作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3作出直线3x＋5y＝z的图像，可知直线经过A点时，

6、Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。五、作业：习题3.3A组3、4