高数[下册]总复习知识点

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1、高数下册总复习知识点归纳软件三班jason第八章向量代数与空间解析几何总结各章节知识点归纳第十张：重积分，三重积分第十一章：曲线积分与曲面积分第十二章：无穷级数第九章多元函数微分法向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：1、向量的坐标表示法（一）向量代数第八章向量代数与空间解析几何总结向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式它们距离为两点间距离公式:2、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式3、向量积(叉积、外积

2、)向量积的坐标表达式方程特点:1.旋转曲面（二）空间解析几何旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面xyz旋转抛物面oyzx旋转椭球面ozyx（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面2.柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴抛物柱面xyzxyz椭圆柱面双曲柱面xyz3.二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛

3、物面特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面4.空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：[3]空间曲线在坐标面上的投影5.平面[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]平面的夹角[5]两平面位置特征：//重合1、偏导数概念第九章多元函数微分法2、全微分公式用定义证明可

4、微与不可微的方法可微不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导有极限3、关系4、多元复合函数求导法则定理1若函数在点处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则中间变量均为一元函数的情形在点t处可导，公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.5、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.定理1设函数单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足②③满足条件导数在点则方程在点6、隐函数的求导

5、法则定理2的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点若函数满足:②③某一邻域内可唯一确定理3的某一邻域内具有连续偏导数设函数则方程组③的单值连续函数计算偏导数按直接法求解.①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:在点7、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面(关键:抓住切向量)1）空间曲线方程为法平面方程为特殊地：(取为参数)2）空间曲线方程为(取为参数)切线方程为法平面方程为(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方

6、程为(关键:抓住法向量)曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令则（特殊情形）8、方向导数记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法:定理那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有说明:可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念记为梯度与方向导数的关系２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.1、二重积分的定义第十张

7、：重积分，三重积分3、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；2.选择积分次序；4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序.(把D写成不等式形式)；外积分变量看成常数)3.确定积分限1、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域D尽量少分块.2、确定积

8、分限计算二重积分的两个关键：内限—平行线穿越法.外限—投影法；（2）极坐标系下2、定限方法内限（的限）——射线穿越法.外限（的限）——看夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序——先ρ后1、何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时；2、被积函数中含有或时.3、用直角坐标求不出的积分.4、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积设上连续