初高中数学衔接专题韦达定理及其应用

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1、专题韦达定理及其简单应用•我们知道，一元二次方程2+2—4=0的两根为西=—1+弱；^=-1-75,那么-b+Qb，-4ac2a兀】(3)兀]-x2一般地，对于一元二次方程ox?+bx+c=0(aH0),当△二b，-4ac>0Hj,方程有两个实数根尸五,此时，则有-b+y[b^-4ac-b~4b^-^ac-2bbXi+X9—F二=2a2a2aa-b-yjh2-4ac_h2-(h2-4ac)_4ac_c—ii—2a4a24a2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在这样的关系：9be如果ax~+Zzx+c=0(a工0)的两根分别是兀［,,那么无+花二——，兀］•

2、£=—•a~a这一关系被称为韦达定理.注:韦达(Viete,Francois,seigneurdeLaBigotiere)在欧洲被尊称为〃现代数学之父"。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。例1若州，兀2分别是一元二次方程2x2+4x-3=0的两根.求下列代数式的值：解：・・・州，七分别是一元二次方程2/+4—3=0的两根,•丄_o32所以有：(1)Xj2+x22=(x,+)2-2xjX2=7(2)11_x,+x

3、2F——-24~2XxX2想一想：设cix2+bx+c=0(dH0)的两实根分别是X

4、,x2,怎样用a.b.c表示例2已知方程5/+总_6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解法一：将兀二2代入原方程得，2£二一14,解得k=-7,因此，原方程为o35x2—7x—6=0,解得兀］=2,x2=—yo3・・・方程的另一个根为―三，k的俏为一7.52+西=-土解法二：设方程的另一个根为州，由韦达定理可得，」，解得2占15x{=-,k=-l--.・・・方程的另一个根为—？，k的值为一7.555例3请你写出一个一元二次方程，使它的两根分别是2+73和2-爺・解：

5、设%)=24-V3,兀2=2—V3,则兀］+二(2+V3)+(2—V3)=4,旺*2=(2+V3)(2-V3)=l.・•・所要写的一元二次方程为x2-4x+1=0例4已知实数坷，£是关于x的一元二次方程Ax?+4(m+l)x+m2=0(血工0)的两个非零实数根，且较小的根是负数，求实数加的取值范F乩加2；7?2解：由韦达定理得，西+兀2=-加一1，V2=—,由—>0^

6、

7、,两根同号，且都是负数。・・・西+兀2<0，即一加一1<0，解得m>-1；又由△“_4心16(心)-4x4宀0,得必.所以'实S的取值范围是-l

8、意：1.一元二次方程必须有根，即A>0；bb2.两根Z和与对称轴的区别。西+禺=-一，而对称轴方程是兀=-—oa2a3.当出现与两根有关的代数式时，如：x'^±x22,x；3±x/,x^x2±x{x^等可考虑用韦达定理。练习：1.设西，匕分别是方程2x2+x-3=0的两根，则无+观二；-V

9、X2=o2.设召,九分别是方程2x2-2x-5=0的两根，且旺>兀，求下列各式的值：(1)(旺―兀2)~(2)——H(3)X)"—x.^兀］X23.已知关于x的方程x2+2(m—2)x+m2+4=0有两个实数根，并H.这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求ni的值.4

10、.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2/-8x+7=0的两根，求此直角三角形的斜边长。13练习答案：1.—；—o2.(1)11；(2)6；(3)—V11223.in——1.4.9习题：感受匸理解1.已知关于x的方程，+滋一2=0的一个根是1,则它的另一个根是o2.下列以个说法：①方程x2+2x-1=0的两根Z和为一2,两根Z积为一7；②方程X，-2无+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；7③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为—一；3④方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的是(填序号)3.若坷宀是方程2x2-4x

11、+1=0的两个根，则玉+玉的值为o1.判断5+'M3是不是方程9x2-10x-2=0的一个实数根，并说明理由。9思考U运用2.若一元二次方程的两根坷,兀2满足下列关系：坷*2+州+兀2+2=0，兀］•心一2兀

12、一2兀2+5=0,则这个一元二次方程为。3.关于x的方程兀$+4兀+加=0的两根州宀满足卜1一对=2‘求实数m的值.7•已知RtAABC中，两直角边长为方程x2-(2m+7)x+4m(m-2)=0的两根,且斜边长为13,求RtAABC的面积.8.已知关于x的方程%2+(加一2)兀+*m-3=0=0.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总冇两个不相等

13、的实数根；(2)若这个方程的两个实数根兀1，兀2满足