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1、要点重温之三角函数的图象、性质1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y=
2、Asin(ωx+φ)
3、的周期是函数y=Asin(ωx+φ)周期的一半。[举例]函数在时有最大值，则的一个值是,A、B、C、D、解析：原函数可变为：，它在时有最大值，即=2k+=（k-1）+，k∈Z，选A。（万不可分别去研究和的最大值）。[巩固]①函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是；②函数y=tanx―cotx的周期为；③函数y=
4、+sim
5、的周
6、期为。2．在解决函数y=Asin(ωx+φ)的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，应取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取x等于它们；求函数y=Asin(ωx+φ)的取值范围时，应由x的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(ωx+φ)的图象；求函数y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范
7、围，再求x的范围；研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时，则分别令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈Z）,从而得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线对称，关于点（，0）对称（k∈Z），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(ωx+φ)也作完全类似的处理。[举例1]画出函数在[0，]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。解析：作函数的图象不是先作函数的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。但不是在[0，]内取=
8、0、、、、这五点，而是视为一个角，∈[，]，取=、、、、2、六个点，具体列表如下：2010-10描点、作图略。不难看出直线、都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。[举例2]已知函数，（1）指出函数的对称轴、对称中心；（2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值。解析：-，（1）对称轴：由=+得，；对称中心：由=得，∴函数图象的对称中心为（，-）。（2）由∈[2-，2+]得∈[，]，，∴[，
9、]，。（3）将视为一个角，∵∴∈，画函数的草图，观察∈时函数值的范围为[-1，]，当且仅当=时取得最小值-1，=时取得最大值；即=时原函数最小值-2-，=时原函数最大值1-。[巩固][巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(－2x)的一个增区间是[，]；②若函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+)，若f(x1)=f(x2)，则x1－x2必是的整数倍；④函数y=2sin(2x+)的图像关于点（，0）对称。其中正确的命题是（填上正确命题的序号）[迁移]函数f(x)=2
10、sin2x+sin2x-1（>0）①若对任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求
11、x1-x2
12、的最小值；②若对任意x∈R恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性；③若f(x)在[0,]上是单调函数,求整数的值；3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B=m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定ω()，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达
13、式确定φ。[举例]已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为(,2),(,－2),则这个函数的解析式为y=____________.解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即，∴T=πω=2，则函数解析式为，点(,2)在函数图象上，∴2=2sin(+φ)+φ=2+得φ=2+，∴函数的解析式为。-264-4Oxy[巩固]函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,
14、φ
15、<)的部分图象如右，则函数表达式为：A．y=－4sin(x+)，B．y=4sin(x－)，POC．y=－4sin(x－)
16、，D．y=4sin(x+)[迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(x+)+B（A>0，>0,0<<2),若x=0时，P在最高点，则函数表达式为：4.三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上（右）平移m(m>0)个单位
