矩阵理论作业7：奇异值引理证明

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1、奇异值引理证明—矩阵和的关系摘要矩阵理论中关于矩阵AB和BA的特征值的关系非常丰富，本文针对两个结论：和进行了证明。关键字：矩阵迹BA和AB特征值引言在学习矩阵奇异值分解前，我们引入了一个引理，本文参考矩阵理论中关于矩阵AB和BA的特征值的关系，用矩阵分块的方法证明了此引理，即对，，以及迹相等的结论。引理证明对于，，证明①②特别地，当时，则有（提示：借助分块矩阵乘法证明）证明①：已知(1)(2)先来计算，令按行分块，按列分块(3)(4)则矩阵可简化为(5)，(6)(7)由矩阵的迹的定义可知，的迹为(8)将带入(8)展开

2、，得(9)同理再来计算，令按列分块，按行分块(10)(11)矩阵简化为(12)，(13)(14)的迹为(15)将带入(15)展开(16)显而易见，（9）和（16）式互换结果相等，由此可以证明。证明②：不妨设，用分块矩阵证明(17)两边取行列式得(18)再在两边分别乘上值为1的行列式，得(19)即有(20)故(21)两边同乘得(22)所以(23)即(24)得证。特别地，当时，则有(25)这就是引入矩阵奇异值分解的引理。结论以上过程用分块矩阵乘法证明了，对于，，迹相等，即；有相同的非零特征值，且阶数高的有阶零特征值，即。特

3、别地，当时。另外，由②有相同的非零特征值也可推出有相同的迹，即可证明①的结论成立。参考文献[1]肖艾平.矩阵AB和BA的特征值的关系[J].科技信息,2011,17:477.[2]王莲花.矩阵AB与BA的特征值问题及其应用[J].大学数学,2007,23(3):135-139.[3]戴立辉.矩阵乘积AB与BA的关系及性质[J].闽江学院学报,2007,28(5):10-13.[4]苏育才， 姜翠波，张跃辉.矩阵理论[M].科学出版社,2006.