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时间:2020-01-10
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1、Barbalat引理证明一、Barbalat引理的基本形式:引理1设为一阶连续可导,且当时有极限,则如果一致连续,那么。如果存在且有界,那么引理1中的一致连续性条件可用的有界性来代替,从而可以得到如下形式的引理。引理2设为一阶连续可导,且当时有极限,则如果存在且有界,那么。可以得到如下推论。推论1若一致连续,并且存在且有界,那么。其中引理1的证明如下:因为一致连续,所以:,对任意的有:另外由可知:对于给定的,,当时有:同理:利用泰勒展开则:其中:所以:由此可知:则:显然:所以由的一致连续性可知:则:即:对于
2、,,当时有:由此得证:一、Barbalat引理的集中变形形式:Barbalat引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性,但由于不易与Lyapunov理论相结合,故在实际应用中具有一定局限性。为此,对Barbalat基本形式进行延展和变形,得到如下集中Barbalat引理的表达形式。引理3若一致连续,且存在,使得,那么。注:,且,。证明:当时,因,则由的一致连续性可知亦为一致连续的。令。则应用引理1易证,进而得到的收敛性。当时,用反证法证之。假设不成立,那么存在常数,对任意,存在,有。基于此,可以
3、得到无限时间序列,使,。因为是一致连续的,故对给定的,存在,使得对任意的都有如下关系式:。由此知,对任意,都有,即。由的连续性可知在域内,恒为正或恒为负,所以,对所有的,有,这意味着。而已知当时,存在极限,记为,即,故这与上式相矛盾。引理4设平方可积,即,则如果存在且有界,那么。引理5设为,的,且有界,那么。引理6设绝对连续,则如果,且对任意紧集一致局部可积,那么。引理7设连续、非减,且仅当时,。则如果为一致连续且,那么,进而。引理8如果连续可导的二元函数有下界,半负定,且关于时间t是一致连续的,那么。一、
4、Barbalat引理在系统渐进稳定性分析中的应用:考虑二阶系统:,,其中w是一有界连续函数,分析系统的稳定性。分析:选取,则,由此可得,即是有界的。这意味着和是有界的,由此及和的有界性可知,是有界的,所以关于时间t是一致连续的,那么应用引理8可得,进而可得。此例仅可说明最终收敛于0,但是整个系统不是渐进稳定的,只能保证有界,而不能保证的渐进收敛性。
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