资源描述：
《高次残剩规律初探(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高次剩余规律初探（二）陈文渊（陕西咸阳）摘要高次剩余问题，是个未能得到很好解决的问题。本文运用初等数论方法，在以索数为模的情况下，研究了S'｝、时｝类型数集的剩余问题。在延伸前人理论的同时，定义了二项同余方程的真解，研究了二项同余方程解集的内在同余关系和性质；研究了二项同余方程、以｝型数集、时｝型数集三者Z间的内在同余关系和性质。初步给出了高次剩余Z和的剩余规律多条，与高次剩余Z积的剩余规律多条，以及高次矩阵的剩余规律。关键词：高次剩余、同余、对模。一些理论的延伸定义1：设m是一个大于1的正整数，a是正整数，且（m,a.）二1,neN若有an=r（modm）（lWrWin
2、T）成立，贝I」r就叫做对模m的高次剩余。定理（一）p是一个奇索数，a是一个正整数，且（p,a）=1,若p-l=di•bld2•b2…，・・ds•bs,则当adi三r(modp)有I*bi三1(modp)(1WrWp-1)当abi=r(modp)有rdl-1(modp)(i=l,2,s)证明：由费尔马定理可知(modp)(modp)(modp)定理（二）P是一个奇素数，a是一个正整数，且（P，a）=l,则①当ak=l(modp)有屮三1(modp)(nwTV)②当ak=-l(modp)有ak(2“三_](modp)证明：①；ak)n=in(modp)•••kn-ia=1(
3、modp)②同理可得••・(ak)沖三(-1)2nH(modp)…a=-l(modp)定理（三）若P是奇素数，a是止整数，（p,ci）二1,且有na=r(modp)(lWrWpT,nEN)①当a=1(modp)则k+na=r(modp)②当才三T(modp)则k+na=p-r(modp)•k+n…a.=r(modp)②・.•ak•an=(-1)•r=p-r(modp)•k+n・・a=p~r(modp)定理（四）若p是素数，a,c分别是正整数，且p二a+c,①当a2n=r(modp)(lWrWp-1贝c2n=r(modp)②当a2n+1=r(modp)贝ljc2n，1=p-
4、r(modp)证明：①由p二a+c,得a二p-co・••a2n=(p-c)2n二[p(p-2c)+c2]n_i2n-pq+c式中q为由二项展开式所有含p各项决定的一个止整数。•2n2n••a—c(modp)己知a2n=r(modp)•2n…c=r(modp)②同理，由p二a+c,得a二p_c。•2n+l/2n+l…a=(p-c)二(p-c)(p-c)2n=a[p(p-2c)+cT,nEN)I2n二paq+ac式中q为由二项展开式所有含P各项决定的一个正整数。给上式两边同时加C沖，有2n+lI2n+l_.2n.2n+la+c-paq+ac+c=paq+(a+c)c2n二p
5、(a.q+c2n)已矢Ua2n，l=r(modp)2n+l一(modp)定理（五）若P是素数,a是正整数，（p,a）=1,在数集｛『｝中有c=p-r$三1(modp)当｛『｝对模p分为k个不为零的剩余类，依次分别为｛严｝三「(modp)｛严｝三0(modp){a(ntl)k"}三g(modp)(n_0,1,2,){a(ntl)k}三甘1(modp)(i=l,2,,k)则在XX{(ank+i-ri)/p}中，任截连续p个项，对模p是一个完全剩余系的充要条件是（P，（ak-l）/p）二1。证明：・••才三1(modp)令ak=pq+l显然q二«T)/p[(ak)n-l]/p=
6、[(pq+l)n-l]/p由二项式原理可得当n=0时,[(pq+l)°-l]/p二0当n二1时，[(pq+l)'T]/p二pqi+q当n=2时，[(pq+1)'-I]/p=pq2+2q当n二j时,[(pq+l)T]/p=pq.j+jq由上式可知，只有当(p,q)二(p,(ak-l)/p)二1时，则在上式屮任截连续P个项(式)，对模P是一个完全剩余系。••nkI•3—1(modp)aj=ri(modp)•nk+i…a=1(modp)故只有(p,(ak-l)/p)=(p,(ank-l)/p)=l时，则在V{(ank+,-ri)/p}任截连续P个项，对模P是一个完全剩余系。定
7、理(六)如果p是奇素数，a>b>d>k>m皆为正整数，(a,p)=1,db二pT,才为{『}中任意一项时，有ka=ao(modp)b+k一a—Hi(modp)2b+k一a=a2(modp)alb，k=ai(modp)贝I」=a；=三a；==r(modp)式中lWaWpT；lWrWpT；i=0>1、2证明：•••(alb+k)d=a1(p_1)-akd由定理(二)①可知a1=1(modp)当akd=r(modp)(lWrWpT)由定理(三)①可知a心-i)+Ad三三「(modp)dddd、•:三a】=——a：==r(modp)一
