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《高次剩余理论及二项同余方程求解的研究初探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高次剩余理论及二项同余方程求解的研究初探华东师范的学第二附属中学景琰杰指导老师施洪亮摘要本文讨论了有关最简单的二项同余方程的解的一些问题,主要有三个方面：首先讨论了关于推广的Legendre符号的一些基本性质,为后面的研究提供一些帮助；然后讨论了最基本的,关于二项同余方程的可解性和解的个数；在知道一个二项同余有解时,如何去解这个二项同余方程是第三个问题.在论文里还讨论了其他一些性质.所用到的证明方法基本上是初等的,主要是二次互反律之前的初等数论知识,没有用到更高等的代数方法.所得到的结果基本上是类比于低维情形的
2、一个推广,是有关上述三个方面的问题的一些结论.其中第二个问题基本上得出了完整的结论,与低维的情形很类似.第一个问题讨论了部分性质,这些性质都是为后文的研究提供帮助的.而第三个问题得出了大部分结果,有些二项同余方程的求解是十分困难的,尚没有给出很好的解法.关键词:高次剩余二项同余方程的求解引言二次剩余的概念来源于求解二次同余方程.一般模的二次同余方程都可以转化为最基本的二项形式.关于这个方程的可解性,Euler曾经给出以他名字命名的判别法.Legendre为了研究方便,引入了符号.于是问题便转化为计算Legend
3、re符号的值.早在Euler的一篇论文中就曾经提出过一个猜想,Legendre和Gauss都意识到如果这个猜想对解决Legendre符号的计算问题的重要意义.这个猜想最终被Gauss完整地证明,即是著名的二次互反律.至此,二次Legendre符号的计算便得到解决.但是关于高次同余方程的求解,甚至是最基本的二项方程,在初等数论里也是很困难的一个问题.本文正是基于这一问题,利用同余式的一些理论,研究了关于二项方程的解的一些基本性质以及相关的问题.定义当时,假如有解,则称为的次剩余,否则称为的次非剩余.为方便计,引入
4、符号.当时,表示是的次剩余;当时,表示是的次非剩余.当时,可以定义.这种情形是平凡的,不在这篇论文的讨论范围之内.当时即为熟悉的平方剩余,此时可略去不写,简记为.正文因为当为合数时,等价于一组模为质数幂的的同余方程组.而关于模为质数幂的同余方程的可解性又可化为模为相应的质数的情形.故这里先假定为质数.又因为当时结论是平凡的（此时恒有）.故又假定为奇质数.在这篇论文里还假定.1.符号的性质先来讨论一下符号的一些性质,以方便后文的讨论.显然有,,并且当时,有.容易推广以下的Euler判别法:定理1当时,则（1）,（
5、2）.证明:当时,如果有解为,则,即;反之,当时,.而有个解,至多只有个解.故一定有解.并且易知此时有个解.当时,当时,,所以；反之,当时,易知,故.在二次剩余中有,这在高次剩余中不一定成立,接下来即要讨论一些相关的结论:定理2对于,当不全等于时,有.证明:当,时,设的解为,的解为,则,即也有解,即.此时成立.当时,设的解为,假如有解,设解为,即.记为的解.则,即.由可知.由于无解,故无解,即无解,因而无解,这不可能.故无解,即.此时成立.当时,和均有可能成立.此时不能判断的值,因而不一定成立.2的可解性2.1
6、当为奇质数时当为奇质数时,由于.即的完全剩余系的前半部分与后半部分的次剩余一一对应互为相反数.因此在讨论时,只需要考虑的完全剩余系的前半部分的次剩余.2.1.1当=3时有以下结论定理3当时,恒成立,当时,在的完全剩余系中只有个使.证明:当时,由Euler判别法可知,对每个,都有个解,而对不同的,解不会相同.因此在的完全剩余系中只有个使.当时,有.则有一组解,不妨设为,则.即恒有解.综上,定理成立.当时候还有以下一些结论:推论1如果满足,,且,,,则有.证明:由上述条件易知,,即为满足的两个不同解.而由可知.故也
7、满足方程.而又由于只有两个解,均不可能,故.推论2如果满足,且,则,.证明:当满足且时,满足,故又,即.证毕.推论3如果满足,,且,,,,则,.证明:由推论1得,.如果,则由推论2,,由于,故且,这与只有解,且矛盾,故必有,故,故.2.1.2当为大于等于5的奇质数时可以得出类似的结论:定理4当时,恒成立;当时,在的完全剩余系中只有个使.证明:当时,由Euler判别法可知,对每个,都有个解,而对不同的,解不会相同.因此在的完全剩余系中只有个使.当时,有.则有一组解,不妨设为,则.即恒有解.综上,定理成立.对于2.
8、1.1中的推论也可以进行推广:推论4如果()满足()且.对于(),有.则对于(),(),使得.证明:由上述条件易知即为满足的个不同的解.而由可知对于,有,故()也满足.而又由于只有个解,对,及对,均不可能,故有().证毕.推论5如果()满足()且.对于(),有.则有,,…,,.证明:由上述条件易知即为满足的个不同的解.故…,故,,…,,.2.2当为时当为时,由于,即的完全剩余系的前半部
