第5章定积分及其应用

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1、第5章定积分及其应用第1节定积分的概念1.1具体实例1Illi边梯形的面积【例1.1】求由闭区间S0］上的连续曲线=f(x)(/(x)30)和直线尢=&,x=b灰Ox轴所围成的曲边梯形的面积A.第一步取分点，分割区间：如图1.1,用闭区间心刃内任意料・1个分点：a=Xf)

2、似代替：DAf-W/(^-)Dxif(i=1,2,L/)第三步求和：整个曲边梯形的面积：A=D/4j+DA2+L+DA,+L+DA”W*(右)兀I+f(x2)Dx2+L+/(xf)Dx,+L+f(xn)Dxn=a/(无)i={第四步取极限：A=lima/(x,)Dx,(1.1)i=1I=max{DXj}i2变速直线运动的路程:设物体以v=v(r)沿直线运动，求£,心］时间段，物体经过的路程s.(v(/)lC^,T2］).仿上四部同样可得：ns=limav(/；)D/f'叫i1.2定积分定义由以上对具体问题的讨论，我们把这种处理

3、问题的方法加以概括，抽象出它们的共同数学特征，就形成了数学上的一璽要概念——定积分.定义1.1设/(兀)是定义在闭区间［a,们上的有界函数，在闭区间陆方］上任取分割T:a=x()

4、趋于确定的极限/，且/与分割7的取法以及兀在［七.1,心］上的取法无关，则称/(X)在［°少］上可积，称极限/为/(x)在［匕们上的定积分，记作^hf(x)dx,B

5、J：d/(x)d兀二a与方分别称为a其中/(x)称为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，兀称为积分变最,积分下限与积分上限，也们称为积分区间，符号6称为积分符号.如果当/®0时，积分和£/(石)D心不存在极限，则称/(X)在［d,b］上不可积.1=1思考题：1.在上述定义中，/®o是否能用〃？来替换，为什么？2.在上述定义屮，为什么要假设/(兀)在有限区间上有界

6、？定义1.1也町用-d语言来叙述：定义1.1’设/(X)在闭区间匕上］上有定义，I为常数，若对于任意给定的正数幺，总存在止数d,使对于S上］的任意分割：T:a=x0

7、曼(Riemann)的贡献(他首创地把此定义在一般形式下阐述出來，并研究了它的应用范围)，所以人们乂将这种积分称为黎曼积分，简称为R积分.为方便起见，把在区间旦b］上黎曼可积的函数全体构成的集合记作R［a,bl根据定积分的定义，曲边梯形的而积、变速直线运动的路程表示为：bbA=Af(x)dx八s=Av(z)dr.Ji7注(1)在构造积分和式皆/(xJDx,-时，包含了两个仟意性，即对区间的分割/=1与"的选取都是任童的•换言之，若对区间的某两种不同的分割或占两种不同的选取,得到的和式趋于不同的数,那么/(X)在该区间上不可积.

8、例如：狄利克雷函数：D(x)=

9、0xie在区间［0,1］上不可积，事实上，将区间［0,1］任意分割为n个子区间，若取七为子区间［Xj.

10、,xf-］(/=1,2,L,n)中的有理数，则D(xi)=1,从而有lim旨D(x,)0^,=1；若/叫1取"为子区间屮的无理数，则Z)(a;)=0,从而有lim扌DCGDx广0,因此Q⑴在/叫1［0,1］上不可积.由此可见，定积分定义屮和式的极限既不同于前血讲过的数列极限，也不同于函数的极限.⑵^f(x)dx=:f(r)dr=^/(w)dw定理1.1若/(x)在匕上］上连续,则f(x)lR［

11、ci,bl定理1.2若于(x)在㈡上］±有界且只有有限个间断点，贝IJ/(x)IR［a,b^定理1.3若/(x)在匕上］±单调有界，则/(x)IR［a,b}.(无穷间断点时)一般地有定理*:/conJ*积的充分必要条件为不连续点集为零测集.1.3定积分的几何意义由定义及上面的