多元函数偏导数的应用

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1、第十讲多元函数偏导数的应用第十讲多元函数偏导数的应用一、主要知识点1．几何方面的应用（1）空间曲线在某点处的切线和法平面方程1）设空间曲线的参数方程为：，则在对应的曲线上的点处切线方程：，切向量．法平面方程：．2）设空间曲线方程为：，则在对应的曲线上的点处切线方程，切向量．法平面方程．3）设空间曲线方程为：，则在点处的切线方程，切向量．法平面方程．（2）空间曲面在某点处的切平面及法线方程1）曲面以显式方程给出，则在点处切平面方程．法向量．10第十讲多元函数偏导数的应用法线方程．2）曲面以隐式方程给出，在上点处切平面方程，法向量法线方程．3）切平面

2、法向量的方向余弦若曲面方程为时，则法向量的方向余弦为，，．若曲面方程为时，则法向量的方向余弦为,,．2．方向导数与梯度（1）方向导数定义设函数在点的某邻域内有定义，函数自点沿方向的方向导数，．（2）方向导数的计算若函数在点处可微，则．其中为方向的方向角．10第十讲多元函数偏导数的应用（3）梯度：+．（4）梯度的计算设具有连续的偏导数，则梯度模：，方向：．注意：沿梯度方向的方向导数最大（即变化率最大的方向），且最大方向导数：．3．多元函数的极值（1）极值的定义设函数在的某去心邻域内有定义，若有或,，则称是函数的极大值或极小值．（2）函数取得极值的必

3、要条件设函数在点的一阶偏导数存在，且是的极值点,则必有．（3）函数取得极值的充分条件设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且，若，则点是函数的极值点（不是极值点）．当时，()为极小值点，且极小值是．当时，()为极大值点，且极大值是．（4）无条件极值（函数中的自变量只受定义域约束的极值问题）．求无条件极值的方法10第十讲多元函数偏导数的应用1）求驻点：即求方程组一切实数解；2）判定：利用极值的充分条件定理判别驻点是否为极值点；3）求出极值．（5）条件极值（函数中自变量除了受定义域约束以外，还受其它条件限制的极值问题）．求条件极值的方法1）化为无条

4、件极值问题求解；2）利用拉格朗日乘数法．（6）函数最值的求法1）若函数在闭区域上连续，求出在区域内可疑的极值点处的函数值，再求出函数在的边界上的最值（这实际上是一元函数的最值问题），进行比较，最大(小)者为最大(小)值．2）若在开区域内函数有唯一极值，则一定就是函数最值．3）实际问题的最值求法，首先根据题中条件列出函数式和条件函数式，求出函数的驻点，再根据实际问题的特点，分析此驻点是否是所求的函数最值点．二、例题分析1．偏导数在几何方面的应用例1．求曲面的一个切平面，使此切平面与直线垂直．解：设曲面上的切点为，则曲面在该点的法向量为，已知直线的方

5、向向量为，据题意知，因此有，10第十讲多元函数偏导数的应用所以得，从而有．于是切点为，所求切平面方程为，即．例2．求过点且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程．解：曲面上过某点的切平面的法向量为．与上述方向垂直的方向为，因此所求平面方程为，即．例3．求曲线在点处的切线的参数方程．解：先求出切线的方向向量，曲面法向量为，曲面法向量为，则所求曲线在点处的切向量为，于是曲线在点处的切线方程为，因此切线的参数方程为．练习题1．求椭球面上平行于平面的切平面方程；（切点为及，切平面方程）10第十讲多元函数偏导数的应用2．求曲线在点处的切线方程及法平面方程．（）

6、2．方向导数与梯度例4．设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为．（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式．（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出（1）中的达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．解：（1）由梯度的几何意义知道，在点处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模．因为所以最大方向导数为；（2）令，下面求函数在条件下的最大值点．令，由（1）（2）削去得到

7、代入（3）式，得，10第十讲多元函数偏导数的应用于是得到四个可能的极值点：，由于，，故或可以作为攀登的起点．练习题1．函数在点处沿抛物线的切线方向的方向导数；（）2．求函数在点处的梯度，并问函数在该点处沿什么方向的方向导数取得最大值，并求最大的方向导数．（沿着梯度方向的方向导数最大，最大方向导数是梯度的模，即）3．求函数极值、最值问题拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值：（1）构成拉格朗日函数，（为常数）（2）求函数对，对的偏导数，并使之为零，解方程组，得，其中就是函数在条件下的可能极值点的坐标；（3）如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可

8、根据实际问题本身的性质来判定．例5．在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点坐标．解：（1）先求