高二数学人教B版必修5学案：222等差数列的前n项和二含解析

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1、2.2.2等差数列的前〃项和(二)［学习目标］1.掌握等差数列与其前〃项和S“有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题2学握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题.歹预习导学挑战自我，点点落实［知识链接］如果已知数列｛禺｝的前n项和S“的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sfl=an2+bn+c(a,b,c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？答若n=l时，ci=S,若h22时，an=Sn—Sn-1,对于S„=an2+bn+c(afb,c为常数)，当c=0时，｛。“｝是等差数列，当cH()时，｛禺｝不是等差数列.［预习导引］等羌

2、数列前n项和的性质⑴等差数列｛禺｝的公差为d,前兀项和为S”,那么数列S2k~Sk9S3厂Sm…伙WN+)是等差数列，其公差等于俺.⑵若在等差数列｛如中，«i>0,d<0,则S”存在最人值.若在等差数列Id,」中,«i<0,J>0,则Stl存在最小值.(3)若等差数列的项数为2咻WN+)时，S奇a”Sfm1(4)若等差数列的项数为2n-l(/?eN+)时，则S^=(2n~l)a„f且S奇-S偶=知S奇=ng,S偶={n—）an,戸课堂讲义/重点难点，个个击破要点一等差数列前〃项和性质的应用例1已知等差数列仏｝,S亦s2mfS3加分别是其前刃,前2加,前3加项和,若S”=30,S2m=100,

3、求S3””.解方法一设｛©｝的公差为〃，依据题设和前n项和公式有：m(m・1),ma+_6^=30,①V2m(2m・1)2ma}+—H;——d=100r②②•①，得叫+必牛』d=70,所以S^m=3/776/13加(3加・1)2=3[加g+"⑶;■I)创=3X70=210.方法二Sm、Sm・久、S3卄S2,"成等差数列，所以30、70、S3m-100成等差数列，所以2X70=30+S3〃・100.所以S3〃产210.方法三在等差数列｛给｝中，因为S”二M+如⑺-1)6/,即数列｛普｝构成首项为心，公差为#的等差数列・依题中条件知普、労、労成等差数列，所以2•密令七所以S3m=3(S2m-Sm

4、)=3X(l()0-30)=210.规律方法在等差数列中，前/?项和S”的问题利用公式可列出关于⑷和d的方程(组)・要注意等差数列中&,Sg・SmfS3m-s沏,…也成等差数列且公差为航焉空％,也成等差数列，用此性质可简化运算・跟踪演练1项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.解设等差数列共2n+1项，则奇数项有〃+1项，偶数项有/7项，中间项是第斤+1项，记为為+],设公差为d,••S奇■S偶二d]+nd=cin^=11,即中间项aw+i=11.又^2n・1=S奇+5冷=T7・•⑵2+1）（671+他小）⑵2+1）・2如［・・2=2刃7‘・・・（

5、2/?+1）X11二77,2n+1=7,即数列的中间项为II,这个数列共7项・要点二等差数列前门项和公式在实际中的应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每刀的这一天都交付50元，并加付欠款利息，刀利率为1%.若交付150元后的一个刀开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为⑷，G,…，他0,则=50+1000X1%=60（元），^2=50+（1000・50）X1%=59.5（元），Go=50+（1000・9X50）X1%=55.5（元），即第10个月应付款55.5

6、元•由于｛禺｝是以60为首项，以・0.5为公差的等差数列，十60+（60・19X0.5）_所以有520=5X20二1105（兀），即全部付清后实际付款1105+150=1255（元）・规律方法建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数・跟踪演练2甲、乙两物体分別从相距70m的两处同吋相向运动，甲第1分钟走2m,以后每分钟比询1分钟多走lm,乙每分钟走5m.（1）1卩、乙开始运动后儿分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点示立即返冋，甲继续每分钟比前1分钟多走lm,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇？解⑴设n分钟后第1次相遇，依题意，有2〃+咛卫+5/

7、7=70,整理得n2+13/?-140=0•解之得n=7,n=-20（舍去）.第1次相遇是在开始运动后7分钟・⑵设n分钟后第2次相遇，依题意，有加+丛导+5,7=3X70,整理得『+13/7-420=0.解之得n^5,n=・28（舍去）・第2次相遇是在开始运动后15分钟.要点三等差数列的绝对值仏I的前〃项和值.解得<例3在等差数列｛禺｝中，S”为前〃项和，且S2=16,S4=24,求匚=阳+

8、。