与三角形的内切圆有关的几个结论

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1、与三角形的内切圆有关的几个结论郑建元(浙江省余姚市实验学校　315400)三角形与其内切圆是直线与圆位置关系的重要内容，运用切线、面积等知识可得到一些重要的结论，特别是当三角形是直角三角形时，结论尤为丰富．如果我们平时解题的时候，不满足于就题论题，而是向更深的层次去探究题目的内在规律．这样不仅可以培养创造思维能力，而且可以免受题海之困扰，从而大大提高学习效率．例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r.求

2、证：r＝.证明：连接OE，OF.∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，∴∠OFC=∠OEC=90°，AD=AF，BD=BE，CF=CE．又∵∠C=90°∴四边形OECF是正方形，∴CE=OE=r，∴r=CE=＝.于是我们得到结论：“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.”由于r=CE=（a＋b＋c）－c，2r=a＋b－c，于是上述结论又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”例２如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝

3、b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r.求证：S△ABC＝(a+b+c)r．证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC.∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB＝(ar+br+cr)＝(a+b+c)r．于是我们得到结论：“三角形面积等于它的半周长与内切圆半径的积.由于r，所以又有结论：“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”特别是当三角形是直角三角形时，r.

4、例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r.求证：S△ABC＝cr+r2．证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC.∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，AD=AF，BD=BE，CF=CE．∵∠OFC=∠OEC=∠C=90°，CF=CE，∴四边形OECF是正方形，∴CE=CF=OE=OF=r．∵S△ABC＝(a+b+c)r=(a+b)r+cr，又∵(a+b

5、)r=(AF+FC+BE+EC)r=(AD+r+BD+r)r=(c+2r)r=cr+r2，∴S△ABC＝cr+r2．例4如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F.求证：＝AD×BD．证明：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，∴AD=AF，BD=BE，CF=CE.设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AD=，BD=∴AD×BD=×=.∵∠C=90°，∴，∴＝AD×BD　例5如图，O为△ABC的内心，OE⊥BC于E，且AB·AC=2BE·EC.求证：

6、∠A=90°.分析：由于O为△ABC的内心，不妨作出△ABC的内切圆，则由切线长定理和勾股定理逆定理可证．证明：设△ABC的内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F，BE＝x，CF＝y，AD＝z．∴BD＝BE＝x，CE=CF＝y，AF=AD＝z．∵AB·AC=2BE·EC，∴(x+z)(y+z)=2xy．∴AB2+AC2=(x+z)2+(y+z)2=［(x+z)—（y+z）］2+2(x+z)(y+z)=(x—y)2+4xy=(x+y)2=BC2∴∠A=90°练习第1题1.如图，△ABC中，内切圆O和边A

7、B、BC、CA分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数为．AOB第2题xy第3题2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心的坐标是．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的面积为．4.若△ABC的周长为18cm，面积为18cm2，则△ABC的内切圆的半径为．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D

8、、E、F，若AD=5，BD=3，则Rt△ABC的面积为．答案：1．70°　　　　　2．(1，1)　　　　　　3．144.25.15