全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8

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1、全国高中数学联合竞赛试题及参考答案题号一二总分1～89101112得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．设x，y，z是正实数，满足，则xyz的最大值是．2．设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k的值为．3．设是给定的整数，是实数，则的最大值是．4．在△ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将△ABC的面积两等分，则．5．对于任意实数a，b，不等式恒

2、成立，则常数C的最大值是．（注：表示x，y，z中的最大者．）6．设，，则满足条件的所有实数a，b的值分别为．7．在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为立方米．8．已知函数R→R满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为．二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积．10．（本题满分14分）数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n．……

3、………密封线……………11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分）设，求的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、2、201003、4、5、10036、，b＝07、8、二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，

4、连接BO，交准线于点，求四边形的面积．解当时，．…………………（4分）当时，令．设，则由，①，②消去x得，，所以，．③又直线AO的方程为：，即为，所以，AO与准线的交点的坐标为，而由③知，，所以B和的纵坐标相等，从而轴．同理轴，故四边形是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为．………………（14分）10．（本题满分14分）数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n．解由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时，．………………（4分）由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数．于是依次可得：，是偶数，，是奇数，，是偶数，

5、，是奇数，，是偶数，，是偶数，，是奇数，……………（9分），是偶数，，是奇数，，是偶数，，所以，，解得，n＝238．………………（14分）11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解设不同的染色法有种．易知．………………（4分）当时，首先，对于边，有3种不同的染法，由于边的颜色与边的颜色不同，所以，对边有2种不同的染法，类似地，对边，…，边均有2种染法．对于边，用与边不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边

6、颜色相同的情况，而边与边颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数，于是可得，………………（10分）．于是，，．综上所述，不同的染色方法数为．………………（16分）12．（本题满分16分）设，求的最大值和最小值．解因为，当或时等号成立，所以S的最大值为1．………………（6分）令，，则．………………（10分）下证．①①，所以，从而，当时等号成立，所以S的最小值为．……………（16分）