全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6

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1、全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一．选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{bn}()(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(

2、x

3、－1)2＋(

4、y

5、-1)2＜2的整点(x，y)的个数是()(A)16(B)17(C)18(D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)

6、-(log53)，则()(A)x-y≥0(B)x＋y≥0(C)x-y≤0(D)x＋y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，()(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比

7、赛的场数是()(A)0(B)1(C)2(D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定二．填空题（满分54分，每小题9分）1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．第4页共4页1．已知＝arctg，那么，复数的辐角主值是_________．2．在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，则＝__________．3．已知点

8、P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____．4．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______．5．已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA＝2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________．三、(满分20分)已知当xÎ[0,1]时，不等式恒成立，试求的取值范围．四、(满

9、分20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当

10、AB

11、＋

12、BF

13、取最小值时，求B的坐标．五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．第4页共4页加试一．(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC＝∠EAC．二．(满分50分)给定实数a，b，c，已知复数z1、,z2、,z3满足：，求

14、az1＋bz2＋cz3

15、的值．三．(满分50分)给定正整数n，

16、已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论．第4页共4页1999年全国高中数学联合竞赛答案一．选择题CABDBC二．填空题6，，，，43，三．,k∈Z.四．(-，2)．五．．第4页共4页