2011年“华约”自主招生数学试题及答案解析

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1、2011年“华约”自主招生试题解析一、选择题1.设复数z满足

2、z

3、<1且则

4、z

5、＝()解：由得，已经转化为一个实数的方程.解得

6、z

7、＝2（舍去），.2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为.则异面直线DM与AN所成角的余弦为()NMDCBAPQzONMDCBAPyx[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，

8、如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.解法一：如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.如图建立坐标系，则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，则，.设所成的角为θ，则.解法二：如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.平移DM与AN在一起.即M移到N，D移到CD的中点Q.于是QN＝DM＝AN.而PA＝PB＝AB＝2，所以QN＝AN＝，而

9、AQ＝，容易算出等腰ΔAQN的顶角.解法三：也可以平移AN与DM在一起.即A移到M，N移到PN的中点Q.以下略.3.已知，过点(－1,1)的直线l与该函数图象相切，且(－1,1)不是切点，则直线l的斜率为()解：显然(－1,1)在的图象上.设切点为，，所以.另一方面，.所以x0＝1,所以.选C.4.若的最小值和最大值分别为()[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个.解：，可见答案是B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的

10、，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A＝O1C，O2B＝O2C.解法一：连接，C在上，则，，，故，，.解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，，，.6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面()A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个[分析]已知平面过A，再知道它的方向

11、，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线.答案是4个.7.已知向量则的最小值为()解：由得由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y－z三个变量，变形，代入，答案B8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为()解法一：焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y＝x–1，与抛物线方程y2＝4

12、x联立，解得，于是，，答案ABGCEDAF解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD＝45°，EF∥DA，EF＝2，AF＝AD，BF＝BC，求∠AEB..类似的，有，，答案A解：，，，于是.将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值.10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角

13、形C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角.事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC＝180°－∠B，所以∠D为钝角.这样就排除了B，C.DBCAFEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC中∠B

14、是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC)ΔACD，则∠D＝180°－∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D.二、解答题解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知.又，，，而，，代入得，，，12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.（I）若b＝3a，求装入半杯水的