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《高等代数第7章习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章习题解答习题7.11、在J?4中，设a=（l,-l,0,2）,/?=（2,-2,1,-3），计算：（1）a与B的内积；（2）a与B的长度；（3）a与B的距离；（4）a与B的夹角;解：（1）力0=2+2+0—6=—4；(2)
2、a
3、=Jl+1+0+4=V6,
4、ft
5、=J4+4+1+9=3^2aP_-42_2V3(3)a-/J
6、=Vl+1+14-25=2^7(4)COS0————7=_7=—7=—
7、a
8、
9、0l3V2V63屈9所以如―3*9解这个方程组的通解为y）2、求齐次线性方程组x+2j=0的
10、所有解，说明其任一解与向量（1,2）的关系。,记a=(2,-1),/?=(1,2),则a•卩=0,所以这两个向量正交。3、证明：在A?中，以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。证明：以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量的t度为1,所以以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。4、证明定理7.1.2定理内容：（1）a（kfl）=k（a；（2）a（/?+/）=a+a/；/$(i、st(3)a-0=0；(4)"(00)证明：设a=（叫上2,…,0=（久#2,…，b
11、）y=（C[,C2,…，c）,那么(1)a(kfi)=al(kbj+a2(kb2)+-+叫(码)=k(a、b+a2b2+…+anbn)=k(afl)(2)a(0+y)=e(方］+C
12、)+“2(〃2+。2)+…+a〃(仇+c〃)=@1勺+g)+(a2b2+a2c2)+•••+(anbn+ancn)0+ay（3）。・0=4]0+偽0a”0=0（4）略5、证明度量矩阵是可逆矩阵。证明：设是基，其度量矩阵为faxax…e%、A=a2a}■■•a2a2…冬％••■…anan>nn/再设x}a}+x2a2+•
13、•-xnaH=0,依次用…，乞与等式两边作内积，得兀a•$+x2a2•$+…xnan•^=0-a2+x2a2•a2+•••xnan•a2=0xxa{・an+曲2•%+…%=0这个齐次方程组的系数矩阵正好是基0,的，…,％的度量矩阵，由于线性无关，那么“$+兀02+•••£%=°只有零解，从而上面的齐次方程组也只有零解，故其系数矩阵可逆。习题7.21、己知帀=（134）^2=（1,1,一1）,“3二（-13,1）是R3的一个基，试将其化成R'的一个标准正交基。解：取0=弘=（1,1,1）,硯=“=（i
14、,i,_i）_：（i,i,i）=£（i,i,_2）,这时可一-axax33以取笑=（1,1,一2）（因为新的与0正交）。分7_口分叱/axaxa2-a21-2=(_I,U)__(U,1)__(U,_2)=(-l,l,l)-
15、(l,hl)+
16、(hb-2)=(-H,0)单位化得疋的一个标准正交基为寸亍（1,1,1）,勺=吉（1,1,一2）,：=令（一11，°）2、设是的一个标准正交基，，并且有(a1,a2,a3)=(£I,£2,£3)
17、21-12-12-r22>证明as®是W的标准正交基-r22>22证
18、明：令2--127T'=_2-01（22-1、1=—‘900、2-122-120903<-122丿3-122丿9309,=E所以T是正交矩阵，从而aga、也是R'的标准正交基3、设/?"是n维列向量空间，A是n维实方阵，证明：A是正交矩阵当且仅当对任意的a,fieRn,总有（Ag）・（A0）=6T0证明：（=＞）因为AAf=AfA=EfAa,A0,a,卩都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有（Aa）-（A0）=（Aa）Afi）=aA^Aft=aE/5=ap（u）因为（Aa）・（A卩）=a/3
19、,而Aa.Afl.a,0都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有（Aa）•（A0）=（AaY（Afi）="（"4）0,所以a（AfA）j3=a卩,但a^ap所以有A/A=E,即A是正交矩阵4、设/T是n维列向量空间，A是n维实方阵，证明：A是对称矩阵当II仅当对任意的总有（Aa）・0=a（A0）证明：（n）因为Az=A,Aa.Afi.a,0都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有（仏）・0=（仏）0=/4'0=/40=〃（“）（＜=）因为（Aa）・0=a・（A0）,而Aa.Aft.a,0都是
20、n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有(Aa)/3=(AaY/}=aA'fi,a(A/J)=aAfi,即aA：ft=aA/J,所以有A7=A5、在疋中，设a=(1,1,1),〃=(0,1,1),求疋中所有与a,B都正交的向量。解：设所求向量为丫=（州，兀2，兀3），那么有a・y=兀］+兀2+心=00・了=兀严屯"解这个齐次方程组:(11、‘100、T<011丿、01b习题7.31、设R”是欧氏空间，W是R"的子空间，证明（W丄）丄=用。证明：由于（W丄）丄={§€
