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1、第六章习题解答习题6.11、设V=R判断下面V到V的映射哪些是V的线性变换，哪些不是?(1)x°a=gV,f(a)=‘工+丿、(2)a-eV,/(a)=y)(3)eV9f(a)=3'2+Q1兀+儿(4)a-XeV,/(a)=a+a0,a(}eV是一个固定的非零向量。y)(5)a—gV9f(a)=a(},a(}gV是一个固定的非零向量。yjX)+x2弘)+/(0)解：(1)是。因为Va=(xpj1),,^=(x2,~~A-旺+勺+y+力必+力f(ka)=f=kf(a)
2、(2)是。因为Va=(x(,ji),,/?=(x2,j2/,V*gF,有f©5=fI+叮/』+弟旺+工2—(必+力)、+=/(a)+/(/?)(3)不是。因为/x}+x2'2+y+儿、、码+工2+必+力丿y(G+0)=.f'2+y、+°2+力、'4+必+力、、兀2+力丿宀+心+必+沧/(a)+/(/?)=所以/(。+0)工/(。)+/(0)(4)不是。因为/伙a)=Ra+a(),而kf(a)=A：(a+a())=ka+ka{}ka+a(}所以f(ka)kf(a)(5)不是。因为/(”+0)=偽，而/(a)+/(0)=偽+%)=2$)
3、北偽2、设V=Pnxn是数域F上全体n阶方阵构成的集合，有§4.5,V是F上兀?维线性空间，设AeV是固定元，对任意MeVf定义f(M)=MA+AM证明，/是V的一个线性变换。证明：PM,NwV,kwF,贝ij/(M+N)=(M+N)A+A(M+N)=(MA+AM)+(NA+AN)=./>(M)+/(N)f(kM)=(kM)A+A(kM)=k(MA+AM)=kf(M)所以/是V的一个线性变换。3、设V=Ra=(x,j,z)gV,定义/(a)=(X+2j-z,j+z,x+j-2z)证明：/是V的一个线性变换。证明，Va=(x1,j］,z
4、iy,/?=(x2,j2,z2y,VitGF/(a+0)=/(“+兀2，必+几，2
5、+Z2)=((兀］+兀2)+2(必+丁2)一(Zl+Z2),(y
6、+y2)+(Zi+Z2),(X
7、+X2)+Ol+y2)-2(Zi+Z2))=((X!+2J,-Zj)+(x24-2J2-z2),(Jj+Z))+(y24-+Jj-2z,)+(x2+j2-2^))=(Xj+2jj-Zj,jI+z,,x,+jj-2z,)+(x2+2j2-z2,j2+z2,x2+j2-2^)=/(a)4-/(A)f(ka)=(g+2幼［一k“ky、+k和kx、+幼］一2kz{)
8、=A：(旺+2y_Z
9、,y+石，兀
10、+y_2右)=幼(a)所以/是v的一个线性变换。习题6.21/,g是/?'的线性变换，a=(x9y)eR2使/(a)=(兀+y,O),g(a)=(-y,x),求/+g，5/-3g,gf,fg,fg2解：(/+g)(a)=f(cc)+g(a)=(x+j,0)+(-j,x)=(x,x)(5/一3g)(a)=5f(a)一3g(a)=5(x+j,0)-3(-”x)=(5x4-8j,-3x)gf(^)=g(/(a))=g(x+y，0)=(0,x+j)fgS=/(g(。))=f(-y,x)=(x-”0)fcc
11、)=/(/(a))=/(x+j,0)=(x+”0)g"a)=g(-y，x)=2、设/是A?的线性变换，对aeR2有f(a)=(x+y9x-y)求P(/),其中P⑴=尸+州1。解：记e表示恒等变换，则P(/)(a)=(/2+/+e)(a)=/2(a)+/(a)+a卩(/)(")=(/'+/+0)(0)=/(兀+丁,兀一y)+(兀+y,兀一丿)+(兀,y)=(2兀,2y)+(兀+『，工一丁)+(工，丁)=(4兀+丁,工+2丿)3、证明线性变换的算律(1)——(3)、(5)——(8)、(9)——(11)证明：(1)VaGVa/(a),g(a)
12、GV,由§4.1的向量运算的算律(1)有(/+g)(a)=f(a)+g(a)=g(a)+/(a)=(g+f)(a)・•・/*+g=g+/(2)VaeV=>f(a)9g(a)9h(a)eV由§4.1的向量运算的算律(2)有[(/+g)+k](a)=(f+g)(a)+h(a)=[/(a)+g(a)]+/i(a)=/(a)+[g(a)+h(a)]=/(a)+(g+h)(a)=[/+(g+")](")・•・(/+g)+%=/+(g+〃)(2)VaGV=>/(a)eV,定义变换0：0(a)=0,显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律(
13、3)有(0+/)(a)=0(a)+/(a)=0+f(a)=f(a)(f+0)(a)=/(a)+0(a)=f(a)+0=f(a)(5)VaeV^/(a)GV,由§4.1的向量运算的算律(5)有d/)(a)=l
