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《高等代数第1章习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章习题解1.1数的基本知识1．求9405与5313的最大公因数解：，，，而，所以（9405，5313）=12．设，证明证明：令由由所以3．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=126·4→(630,504)=1264536=2·1764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=252·3→(1764,4536)=252252=126·2所以(504,630,1764,4536)=1264.设证明证明:5.设证明证明:6.设a是整数x是任意整数,那么证明:若对任意整数x成立,那么取,有;反之,若
2、,显然成立;若对任意整数x成立,即对任意整数x成立,取;反之,若,显然成立.7.设,且,证明存在,使得证明:如果,则,所以结论成立;如果不全为零,那么一定存在整数使,令所有这样的正整数组成的集合为D,即:,由于D是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为,即有整数使我们说就是的最大公因数.事实上,对于的任意公因数,显然有;如果不是的公因数,不妨设不是的因数,那么由带余除法,有于是这与是D中最小数的假设矛盾.8.设P是大于1的整数,是任意整数,如果由就有或,则一定是质数.证明:如果P不是质数,那么有两个大于1的整数使显然有,按题设,应有或,但这显然不可能.
3、.9.设都是数环,请问与是否是数环,为什么?解:是数环,而未必是数环.事实上:同理:所以,即是数环.取,这时,但所以未必是数环.10.证明数集合(是虚数单位)是数环,但不是数域.证明:所以是数环;但,而,所以,所以不是数域;11.试写出包含的最小数域.解:1.2一元多项式1.若,求和解：2.求使解：所以:3.取何值时,多项式与相等.解：4.将多项式化成的方幂形式解：5.设多项式,问的系数满足什么条件时,公式等号成立?满足什么条件时,小于号成立?解：设,当时,公式中的等号成立;当时,公式中的小于号成立;6.设,若,则证明：如果至少有一个不是零多项式.由于,所以于是等式
4、右边的的次数为奇数,而左边的次数为偶数,这导致矛盾,所以必然有7..设,若,证明则证明：设,,并且于是的最高次项的系数为或,不论是哪种情形,的最高次项的系数都不为零,所以(但这个结论对复数域上的多项式不成立,例如但1.3多项式的整除性1.用除,求商式和余式:(1)(2)解：(1)(2)2.确定的值,使能整除解：利用长除法,得,所以3.下列命题是否成立,为什么?(1)若,则(2)若,则(3)若,则(4)若,则解：(1)成立,否则由,则导致矛盾;(2)不成立,例如,但,即(3)不成立,例如,但,即(4)成立,由于,所以只相差一个常数因子,所以成立.4.若,,证明的充分必
5、要条件是被除得的余式相等.证明：设,其中和于是,由但,这显然不可能,除非,即设,其中于是5.常数满足什么条件时,能整除?解：所以所以6.设,并且满足,证明:若,那么.证明：设,所以7.证明：对任意非负整数n,都有证明：对n用数学归纳法:当时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n的非负整数成立,那么在时,由归纳假设有,同时所以8.设k是任意正整数,证明证明：充分性是显然的,下面证明必要性用反证法:若,则,那么,由矛盾.9.证明：的常数项为0证明：设于是由于,所以反过来,若,显然有10.证明：证明：设,则若,设,于是由于,但,这显然不可能.所以,必然有,即.1.4最大公
6、因式1.求(1)(2)(3)(4)解：(1)所以;(2)所以;(3)(4)所以2.设,,求解：由于3.设,求解：4.对下列各题的,求,使（1），（2）（3）解（1），所以所以，（2），，所以所以：，（3），，所以所以5.令与是中的多项式，而是中的数，并且满足，证明证明：设令那么两式相减整理得：同理：由于反过来：所以6.证明定理1.4.7的逆：若，那么与都成立。证明：因为，所以有使于是由由7.设,证明:(1)若对任意多项式,由均可得到,则必有(2)若对任意多项式,由均可得到,则必有证明：（1）设，那么有对于有进而有，取，依题意有，但同时有所以，即（2）设，那么有对于所
7、以取依题意有即即8.设与是中的多项式，如果中的一个多项式满足下列条件，则叫做与的一个最小公倍式：1)；2)如果中的多项式满足：则（1）证明：中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，最小公倍式是唯一的；（2）设与的首项系数都是1的多项式，我们用表示首项系数为1的最小公倍式，证明；证明(1)令，则；取，显然是的一个公倍式；其次，设是的任意一个公倍式，那么，所以，即是的一个最小公倍式。又若也是的一个最小公倍式。按定义，必然是因此只相差一个零次因式。（2）由于与的首项系数都是1，所以（1）中的多项式都可以取成首项系数都是1的多项式；即且也是首项系
