高考数学专题十一三角函数式的化简与求值

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1、坐标定义的推论定义域与覆诱导公式万能公式：sin2a-2tana1+tan*ct倍角公式半角公式知识网络三角函数式化简与求值的理论依据一三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函I数坐标定义的推论系列；公式的推论系列三角公式公式二“的推论一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主耍考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的''准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；冇关公式的联合运用，主耍应用于无附加条件的三角式的化简或求

2、值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。3、等价转化思、想以及三角变换的基本技能。二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角两数的基木关系式（同角公式）（1）课木中的公式：sin2a+cos2a=1;tanacota=1sinatana=cosa①平方关系：sin2oc+cos?oc=l;sec?ot=l+tan，gsinacosatana=;cota=②商数关系：cosasina■(

3、2)同角公式“全家福”③倒数关系:tanacota=1;sinacsca=1;esc2a=1+cot2acosaseca=14、诱导公式：(1)认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角a①k・360°+a(keZ),~a,180°±a,360°~a(共性：偶数X90°±°-形式)的三角函数值，等于°的同名函数值，前而放上一个把°看作锐角时原函数值的符号；②90°±a,270°±a(共性：奇数X90°±a)的三角函数值，等于a的相应余函数值，前而放上-•个把°看作锐角时原函数值的符号。两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。(

4、2)诱导公式的引屮+a)=sina(k€Z)cos(Ax+q)=(-1)*'cosa(上eZ)tan(上兀+a)=tana(k€Z)(二)两角和与差的三角函数以邛替代p1、两角和的三角函数两角普的三角函数cos(a+0)=cosacos0-sinasmcos(a-0)==cosacos0+sinasin023.Rsin(a+/?)二sinacos0+cosasin0($(“刃)sin(a-13)=sinacosp-cosasinp(S(w))(4w))tan(a+0)=tailg+tan0一tangtan0（耳…））tana-

5、tan01+tanatan0令”=a2、倍角公式sm2a=2sinacosaAAcos2a=cosa-sina=1-2sin2atan2a=2tanaA1-taila3.倍角公式的推论推论1（降慕公式）：sinacosa=-sui2a2•21-cos2asina=121+cos2acosa=推论2（刀能公式）:•c2tanasin2a=；—1+tana宀1-tanacos2a=t—1+tana推论3（半角公式）：at11-cosasin—=±A2V2acos—2JI+cosaat1-cosatan—=±J2Vl+cosaa三.

6、经典例题例1、(1)填空：已胪屮,2広),

7、cos&<吹且sin&vtanE则0的取值范围为其中根号的符号山2所在的象限决定.空叱=驾》2涵&,则&(2)已知V1-sinel1+sm°的取值范围为分析：(1)从已知条件分析与转化入手sin00<=>tan5>0cos创<

8、$in8<=>

9、tan6>1或cos0=0•••由①、②得"C吒'头碍芦兀、沁3席、...应占朴匸三)(2)首先致力丁•左右两边的靠拢:左边=(1+sin6)cos'6(1-sin6y2sin

10、6~cos26•••由左边=右边得2sin0*0或。cos©=-cos9#02sin9=0cos©^0fcosQ<0..a亠0£心0或T°o2上冗+—<<2上席+竺或&二2上兀(上€Z)22（2br+殳,2后+—）U（2尿｝（k€Z）・•・应填22点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的半背误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：2cosl0°一sin20°（1）cos20°'（2）tan20°+2tan40°+4cot80°.分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos2

11、0°.为此，将10°变为30°—20°后运用差角公式。（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”夕卜，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.解：（1）原式=cos20°（2）解法一（利用关于正切的倍角公式）：2tanacot2a1-taildz2tan