高考理科《第13章推理与证明、算法、复数》练习13-3

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1、A组专项基础训练(时间：40分钟)1-用数学归纳法证明2〃>2〃+1,〃的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.4【解析】・・5=1时,2'=2,2X1+1=3,2n>2n+1不成立;”=2时，22=4,2X2+1=5,2n>2n+1不成立；n=3时，23=8,2X34-1=7,2">2”+1成立.n的第一个取值应是3.【答案】C1111772.用数学归纳法证明不等式1+空+才尹~[>齐~(用1<)成立，其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10【解析】左边=1+*+£匕代入验证可知n的最小值是8.【答案】B3.数列｛给｝中，已知4=1,当心2时，an—an-]=2n—,依

2、次计算如如，他后,猜想切的表达式是()A.3n—2B.rTC.3"7D.4”一3【解析】计算出Q

3、=l,Q2=4,Q3=9,04=16,可猜a„=n2f故应选B.【答案】B4.对于不等式何匚V〃+1(/7WN),某同学用数学归纳法证明的过程如下：⑴当”=1时，^/12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kWN时，不等式成立，即讥中<&+1,则当n=k+l时，yj(k+1)2+(^+1)=VP+3k+2

4、从n=k到〃=«+1的推理不正确【解析】在n=k+1时，没有应用n=k时的假设，不是数学归纳法.【答案】D2.利用数学归纳法证明“S+1)O7+2)・・・・・S+〃)=2"X1X3X・・・X(2〃一1),舁丘1<”时,从“n=k”变到an=k+r时,左边应增乘的因式是()A.2k+B.2(2A+1)2k+2£+3rD7+1U'k+【解析】当77=心WN)时，左式为伙+1)(^+2)-…当n=k+l时，左式为伙+1+1)•伙+1+2)•…•伙+l+£—1)•伙+1+«)・伙+1+«+1),则左边应增乘的式子是(次+：+；"+2)=2(2k+1).【答案】B3.设数列｛如的前〃项

5、和为S”，且对任意的自然数〃都有⑸一1)2=q”S”，通过计算Si，s?‘S3,猜想s“=•【解析】由(Si—l)2=Si•5],得S[=㊁，2由(S2—1)~=(*S，2—S

6、)S2,得$2=了，34n依次得S3=才，猜想S“=〃+].【答案】笄74.用数学归纳法证明：“1+*+*+・・・+;右■GgN：n>)”时，由n=k(k>)不等式成立，推理n=k+1时，左边应增加的项数是.【解析】当n=k时，要证的式子为1+*+*+…+?丄]<£；当n=k+1时，要证的式子为1+*+*2丄]+*+2“；12人+'_]<£+1.左边增加了2*项.【答案】2*7>3,/(32)>刁则其一

7、般结论为.【解析】因为,/(22)>

8、,_/(23)>

9、,/(24)>

10、,/(25)>^,所以当心2时，有./(2")>字.〃+2容故填/(2")>二一(化$2,“WNJ.A7-2【答案】/(2”)>丁(“M2,用N)9・已知点P3,九)满足Q卄】=给•仏+】，九+】=占产(刃丘2),且点P］的坐标为(1,一1)・(1)求过点鬥，巴的直线/的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于/?eN点几都在⑴屮的直线/上.【解析】(1)由题意得Q］=l,fei=—1,—1111“2=1—4X1=》^2=1X3=rp—1x—1/•直线I的方程为=3+13-1即2x+y=.⑵证明①当n=］时,2

11、aj4-i

12、=2X1+(—1)=1成立.②假设时，2ak+bk=成立.当n=k+1时，2%卜］+加+1=1也成立.由①②知，对于/?eN都有2atl+bn=lf即点几都在直线/上.10.在数列⑺｝中,°i=2,aM+i=^an+^n+,+(2-2)2n(/?eN*,久＞0)・⑴求。2，如，。4；(2)猜想｛a“｝的通项公式，并加以证明.【解析】(lk/2=24+42+2(2-z)=z2+22,a3=A(22+22)+z3+(2-A)22=243+23,6/4=/l(2A3+23)+/l4+(2-z)23=3A4+24.⑵由(1)可猜想数列通项公式为：a”=(〃一l)F+2".下

13、面用数学归纳法证明：①当77=1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当心k(kN4,kWN)时等式成立，即做=伙一1)才+2*,那么当n=k+时,以+1=久蚣+久""+(2—x)2a=A(k~］)Ak+A2k+Ak+i+2k+i~A2k=伙一1)人阳+/1小+2旳=［伙+1)—1］久"1+2阳，所以当n=k+时，猜想成立，由①②知数列的通项公式为a”=S—l)F+2"(nWN；4>0).B组专项能力提升(时间：30分钟)10.设/(x)是定义在正整数集上的函数，且