（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程152双曲线讲义

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1、§15.2双曲线考点1.双曲线的定义和标准方程2.双曲线的性质内容解读要求2013五年高考统计2017常考题型预测热度201420152016A填空题A12题5分3题5分8题5分填空题考纲解读求双曲线的标准方程双曲线的几何性质及简单运用分析解读双曲线作为一种重要的圆锥曲线，考查的频度比较高，试题难度一般中等偏下，复习时不要过度挖掘.五年高考考点一双曲线的定义和标准方程1.（2017课标全国III理改编,5,5分）己知双曲线C:孔牡1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为存爼且与椭圆yln+T=i有公共焦点，则C的方程为答案2.（2017天津文改编,5,5分）已知双曲线卸-宙二1

2、（a>0,b>0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,A0AF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为.答案x2--13.（2017天津理改编,5,5分）已知双曲线却-牡1（a>0,b>0）的左焦点为F,离心率为呎若经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为•0尸答案J-T=l4.（2015天津改编,6,5分）已知双曲线孔11二1（a>0,b>0）的一条渐近线过点（2,內），且双曲线的一个焦点在抛物线『二4疔x的准线上，则双曲线的方程为.答案0尸7T10尸a1.（2015广东改编,7,5分）已知双曲线C:^-P=l的离心率e」,且其

3、右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程答案11工1X*k2.（2014天津改编,5,5分）已知双曲线^-^=1（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线1:y二2x+10,双曲线的一个焦点在直线1上,则双曲线的方程为¥戸答案?"=1教师用书专用（7-8）3.（2013广东理改编,7,5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）,离心率等于〔则C的方程是•答案4.（2014福建，19,13分）已知双曲线E:兀冒二1（a>0,b>0）的两条渐近线分别为li：y=2x,l-2：y=-2x.⑴求双曲线E的离心率；（2）如图,0为坐标原点,动直线1分别交直线h,12于A,B两点

4、（A,B分别在第一、四象限），且AOAB的面积恒为&试探究:是否存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程;若不存在，说明理由.解析（1）因为双曲线E的渐近线分别为y二2x,y=-2x,所以=2,所以二2,故c二靖a,从而双曲线E的离心率e二£二卩⑵解法一：由⑴知,双曲线E的方程为刁=1.设直线1与x轴相交于点C.当1丄x轴时,若直线1与双曲线E有且只有一个公共点,则

5、OCI=a,IABI二4a_,又因为△OAB的面积为&所以3

6、0C

7、・

8、AB

9、二8,因此.・4沪&解得a二2,此时双曲线E的方程为王珂1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-

10、-1.77以下证明：当直线1不与X轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线1的方程为y二kx+m,依题意，得k>2或k<-2,记A(xi,yi),B(x2,W得』,同理得y#由Saoab=

11、0C

12、•

13、yi-y2

14、W,二&即m2=414~k21二4(k2-4).由得(4-k~)x2-2kmx-m2-16-0.因为4-k2<0,所以A=4km2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以A二0,即1与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与1有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为匸“二1.1T解法二：由(1)知,双曲线E

15、的方程为自-力'二1.设直线1的方程为x二my+t,A(xi,yJ,B(x2,yz).11依题意得-T

16、•

17、y-y2

18、=8,得(4m2-1)y2+8mty+4(t「-所以t2=4

19、l-4m2

20、=4(l-4m2).a2)二0.因为4启1〈0,直线1与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当A二64m¥-16(4n]2-l)(t2-a2)-0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(l-4m2)-a2=0,即(l-4m2)(a2-4)=0,所以a2二4,x2卢因此，存

21、在总与1有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为11二1.解法三：当直线1不与X轴垂直时，设直线1的方程为y=kx+m,A(X

22、,yi),B(x2,yj.依题意得k>2或k<-2.由得(4_k?)x?-2kmx-n?二0,TTJ因为4-k2<0,A>0,所以x】x尸，又因为AOAB的面积为&14所以

23、0A

24、•

25、0B

26、•sinZAOB二8,又易知sinZAOB二：所以叫・*二&化简得x.x2=4.所以衣〔4,即m2=4(k2-4).c由⑴得双曲线E的方程为兀兀1,由'得(4~k2)x2-2kmx-m2-