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《《微积分教学资料》习题13》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.下列各题屮，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察｛暫｝的变化趋势,写出它们的极限:⑴*”=刃【解】当无限增人时，2”也无限增大，使得数列£=丄的取值无限接近常数0,故数列收敛，其极限为0.⑵百=（_1）”丄;n【解】当斤无限增人时，丄的取值无限接近常数o,使得数列xH=（-y丄的取值无限接近nn常数0,故数列收敛，其极限为0.⑶兀”=1+t;n【解】当7?无限增大时，7『也无限增大，使得丄的取值无限接近常数0,从而数列nr£=1+4的取值无限接近常数1,故数列收敛，其极限为1.⑷捡吕【解】因为无二匚=1，可见当〃无限增大时，——的取值无限接近常数0,从而
2、力+17?+17?+1n—J2数列£=么上=1—_的取值无限接近常数1,故数列收敛，其极限为1.舁+17?+1⑸xtl=(-yn；【解】当7?无限增大时，数列｛（一1）5即为-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,£=（-1）^/7的取值无法接近于某一常数，故数列发散.2"—]【解】因为X”二r2数列
3、（-）4即为2上，—,—,—，易见当无限增大时，数列
4、（-）4I3J392781243[3/的取值无限接近常数0；数列（丄4即为,丄，—，易见当/无限增大时，数列W的取[3n]392781243[3WJ值无限接近常数0,综上知,当〃无限增大时,数列£=2n-l3〃的取值无
5、限接近常数0o故数列收敛，其极限为0.*2.用数列极限的定义证明下列极限:H⑴lim^=l；心°°n+1【证明】由于“-1=丄，那么，要使n1V£,只要使7?+17?+1n+1——V£,亦即使H+1n>1,€所以，对于任意预先给定的£>0,只要取N=--1,则当n>N£时，1<£必成立.〃+1n从而，由数列极限的定义得知，lim——=1.“TOOn+1所以,对于任意预先给定的£>0,只要取N=［古］,则当n>N时,<£【证明】由于4-0二丄，因此，要使-4-0V£,trrrIV⑵lim丄=0.n—>8n厶只要使A<£‘亦即使斤〉VT必成立.从而，由数列极限的定义得知，li
6、rnA=O.“T8/*3.若limxn=at证明lim
7、xrt
8、=
9、a
10、,并举例说明。反之若数列｛
11、xj｝有极限，但数列｛兀｝未必有极限。但lim=0<=>lim=0。XT8HT8【解】分三个部份进行：(1)若limxn=af证明lim£=a,并举例说明;/I—>OO—8【证明】对于任意预先给定的£>0,rtlUmxn=a,知存在正整数N,使当n>N□T8时，xH-a<£必成立.这时，rti于甌
12、一
13、。
14、勻£一4，可知不等式
15、兀」一问<£必成立,即由数列极限定义知lim兀=q。证毕。“T87?77Y]【举例】有£=(—1)"——,易见limxn=lim(-ir——=1,A
16、limxz/=lim——=1。卅+]HT8HT8Z?+1"T8HT8,7+[⑵若数列｛
17、x„
18、｝有极限，但数列｛£｝未必有极限；【证明】若数列｛卜”
19、｝有极限，则对于任意预先给定的£>0,存在正整数N,使当n>N时，兀“-a必成立.但由于
20、x„
21、-6z<
22、x„-a,故由xn
23、-a<£未必得到xn-a0,存在正整数N,使当n>N"T8时,卜“-0
24、=卜”
25、v£必成立.此时,由于
26、
27、xn
28、-O
29、=
30、xM
31、,使
32、得卜”
33、-0
34、<£同时成立,即由数列极限定义知，lim£=O。HT8反之，由lim暫=0知对于任意预先给定的£>0,存在正整数N,使当n>N”T8时，
35、xw
36、-0=xn<£必成立.此时，由于
37、xM-0
38、=
39、x„
40、,使得xn-00,存在正整数W,使当n>N川一>8时'I儿-o
41、=
42、儿
43、v令必成立•£这时‘I兀儿-。
44、二比
45、儿I=MMsMynv“币之，即由数列极限定义知，=0.证毕。"T8*5.对数列{兀讣，若limx2k^=a,imx2k-a,证明limxzj-aoA—1&T87?T8【证明】对于任意预先给定的£>0,由limxlk_x=a,知存在正整数"，使当k>N{M,xn_x-a<£必成立,kT81*由limg-a,知存在止整数N—使当k>N.时，一4<£必成立,&T811*于是，令/V=max{^p/V2},贝9当n>NW,xn-a<£必成立,即rh数列极限定义知,imxn=ao证毕。HT86.判断下列数列的收敛性:72(】)
