1函数与方程思想应用技巧

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1、函数与方程思想方法应用技巧［概述］:函数的思想方法：就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,在考虑数学问题时，注意分析和研究具体问题中的数量关系,分析和研究变量打变量之间的依赖关系,并把这种关系川函数形式表示出来，利用函数的定义域，值域，利用函数的单调性,奇偶性，周期性，使问题得以解决的一种思想方法。函数思想是对函数概念本质的认识，用于指导解题就是善于利用函数的知识或观点处理问题。方程的思想方法：就是设未知数的思想，就是在考虎问题时，从分析问题的等量关系入手，设出一些未知数，运用数学语言,将其中的约束条件，等量关系，用数学方法农示出來，建立该未知数的方程或方程纽

2、，利用解方程的方法，通过解方程(组)，使未知变为已知，从而使问题得到解决的思想方法。函数与方程的思想是密切相关的：如函数y=/(兀)就可认为是二元方程/(x)—y=O,反函数的求解，求两数的值域也可转化为方程来解。方程问题也可转化为两数问题求解，如解方程/(x)=0，就是求两数y=f(x)的零点。处理这些问题时，需要熟练掌握箭数的冇关概念和性质，还应注意：数学问题小,只要冇变量的依赖关系，就应优先考虑建立两数关系或方程常用结论：1.关于x方程f(x)=a有解，当且仅当。属于/(兀)的值域。771例1•若方程cos2x-sinx+a=o在(0,—)上有解，那么a的取值

3、范围是.22.函数/(x)的值域是使方程f(x)-y=o有实数解的y的取值范围。例2.关于兀的方程jc+mx+n=0有绝对值不小于3的实根，则m2+n2的最小值是。变式1：已知函数/(x)=x2++—+/?(xe若实数a,b使得方程XX/(x)=0有实根，求/+戻的最小值。3.常数a>f(x)对函数/(兀)定义域内的任意兀都成立，当且仅当a>(/(x))nm，(对a>f(xla/(x)有解o。〉(/(兀几讪‘对a

4、虑数学问题时关注变量Z间的依赖关系(函数关系)，冇意识的关注含冇字母的等量关系(方程)，具体的讲1.是不是想到把字母看做变量？是不是把代数式看做函数式？兀2『如:双曲线：一7——;~-=l,a>1的离心率£的取值范围是a2(a+1尸a(V2,2)；b(V2,V5)；c(2,5)；d(2,亦)乂如:设数列各项均为正数，且q二1,%+

5、二丄％(4—色)，2①证明：a“

6、当Xe[-1,1]时，函数y=/（x）图像上任一点的切线斜率恒大于3加，求加的取值范乱解：i）/Xx）=3mx2一6（血+1）兀+兀，依题意广⑴=0，得斤=3m+6n)iliI)得ff(x)=3mx2-6(m+l)x+n=3mx2-6(m+l)x+3m+6=3m(x一l)[x一(1+—)]m2・.・m<0,/.1>1+一，列表如下:mX(-00,1+—)m1+2m(1+21)m1(1,+8)广⑴0+0fM1极小值t极大值I•••单调增区间为单调减区间为ill）依题意，无w[—1,1]时，fx）＞3m恒成立,且加＜0,.22.22兀〜（m+l）x+一＜0；令&（尤）

7、=兀~（m+l）x+—；mmmmfg（l）＜0则朋）＜。0跖（兀）＜00优IM4八解得:——＜m＜031.是不是想到用方程，函数性质去研究问题？例:求函数:y=X4-y/x-的值域.注:%＞1;则y＞1，具备单调性，也可换元來解决例:屮乙两地相距$千米，汽乍从屮地匀速驶往乙地，速度不得超过c千米/小时•已知，汽乍每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度u（千米/小时）的平方成正比,（单位:元）且比例系数为b,1占I定部分为a元;⑴把全程运输成本y（元）表示为速度v的函数，并指出函数定义域，⑵为使全程运输成木锻小，汽乍应以多人速度行驶?2.是不是

8、想到构造函数？例:设函数.f(x)=ex-e~x;①证f（x）的导函数广⑴满足：广⑴》2.②若对所有的兀》0都冇/（兀）＞ax成立,求实数a的取值范围.分析：①略②构造:g(x)=/(X)一ax,gx)=fx)一a原题转化为：x时,ginin(x)>0i)当a<2时,由①知gx)=fx)-a>O,g(x)在［0,+oo)上单调增,gmin⑴=g(°)=°，结论成立•a+—4ii)Q>2时，gx)=0的正根西二In・•・X€(0,兀］),g'(x)<0；XG(Xp+oo),gf(x)>0,因此,gminM=g(兀1)而xg(0,x{)时,gtx)vg